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三、一般迭代法 (补充),第八节,可求精确根,无法求精确根,求近似根,两种情形,(有时计算很繁),本节内容:,一、根的隔离与二分法,二、牛顿切线法及其变形,方程的近似解,第三章,一、根的隔离与二分法,(1) 作图法,1. 求隔根区间的一般方法,(2) 逐步收索法,由图可见只有一个实根,可转化为,以定步长 h 一步步向右,搜索,若,搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 .,2. 二分法,取中点,对新的隔根区间,重复以上步骤,反复进行,得,则误差满足,例1. 用二分法求方程,的近似,实根时,要使误差不超过,至少应对分区间多少次 ?,解: 设,故该方程只有一个实根 ,欲使,必需,即,可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值,二、牛顿切线法及其变形,有如下四种情况:,牛顿切线法的基本思想:,程的近似根 .,记纵坐标与,同号的端点为,用切线近似代替曲线弧求方,在此点作切线 ,其方程为,令 y = 0 得它与 x 轴的交点,其中,再在点,作切线 ,可得近似根,如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :,称为牛顿迭代公式,牛顿法的误差估计:,由微分中值定理得,则得,说明: 用牛顿法时,若过纵坐标与,异号的端点作,切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在,牛顿法的变形:,(1) 简化牛顿法,若用一常数代替,即用平行,则得简化牛顿迭代公式.,线代替切线,得,优点:,因而节省计算量.,缺点: 逼近根的速度慢一些.,(2) 割线法,为避免求导运算 ,用割线代替切线,即用差商,代替,从而得迭代公式:,(双点割线法),特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法.,说明: 若将上式中,则为单点割线法,逼近,根的速度与简化牛顿法相当.,例2. 用切线法求方程,的近似解, 使,误差不超过 0.01 .,解:,由草图可见方程有唯一的正实根 ,且,得,而,再求,因此得满足精度要求的近似解,三. 一般迭代法,(补充),在隔根区,按递推公式,则 即为原方程的根 .,式称为迭代格式 ,初值 .,否则称为发散 .,例3. 用迭代法求方程,解法1 将方程变形为,迭代格式为,发散 !,解法2 将方程变形为,迭代格式为,迭代收敛 ,1.32472 为计算精度范围内的所求根 .,定理.,(证明略),迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.,可以证明,下述定理:,内容小结,1. 隔根方法,作图法,二分法,2. 求近似根的方法,二分法,牛顿切线法,简化牛顿法,割线法,一般迭代法,思
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