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第一章,函数与极限,1 4 - 2,第四节 无穷小与无穷大,一、 无穷小的概念,三、 无穷大的概念,五、 无穷小与极限的关系,二、 无穷小的运算性质,四、无穷小与无穷大的关系,1 4 - 3,当,定义 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,数列,时为无穷小。,为,时的无穷小 .,一、 无穷小的概念,?,无穷小是一个很小的数吗？,无穷小是比任意一个数都小的量吗？,1 4 - 4,简言之, 在某极限过程中, 以0为极限的量称为该极限过程中的一个无穷小.,注意: 无穷小是一个变量.,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,无穷小定义的另一种表述：,?,1 4 - 5,. 在某极限过程中，两个无穷小量之和仍是一个无穷小.,可推广至有限个情形,定理,五、 无穷小的运算性质,例如：,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,1 4 - 6,推论1. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,推论2. 有限个无穷小量之积仍为无穷小量.,在某一极限过程中，无穷小与有界量的积仍是一个无穷小量.,例如：,1 4 - 7,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,1 4 - 8,注意：,我们没有讨论两个无穷小的商的情形，因为这一情形较复杂，将在以后专门讨论.,例如：,不是无穷小量.,是无穷小量；,是无穷大量；,1 4 - 9,定义 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,三、 无穷大,1 4 - 10,例2.,1 4 - 11,证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明:,例3.,1 4 - 12,例4.,证:,要,取,故,1 4 - 13,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,注意：不要混淆无穷大与无界变量两个概念！,1 4 - 14,例5.,解:,但是该数列无界.,1 4 - 15,四、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,在自变量的同一变化过程中,说明:,定理,当,时为无穷小.,1 4 - 16,?,1.两个无穷大的和（差）仍是无穷大吗？,2.无穷大与有界变量的积仍是无穷大吗？,考虑:,1 4 - 17,五、 无穷小与极限的关系,其中 为,时的无穷小量 .,证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,定理,1 4 - 18,小结,无穷小的定义,无穷大的
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