高数第六章第一次定积分的计算面积.ppt

2019/6/16,1,第一讲,元素法求平面图形的面积,第六章 定积分的应用,2019/6/16,2,一、问题的提出,回顾,曲边梯形求面积的问题,2019/6/16,3,一、问题的提出,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,2019/6/16,4,一、问题的提出,提示,2019/6/16,5,一、问题的提出,2019/6/16,6,一、问题的提出,元素法的一般步骤：,2019/6/16,7,一、问题的提出,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等,2019/6/16,8,二、直角坐标系下求平面图形的面积,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,2019/6/16,9,二、直角坐标系下求平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,问题：,积分变量只能选 吗？,10,二、直角坐标系下求平面图形的面积,解,两曲线的交点,选 为积分变量,选 为积分变量,2019/6/16,11,二、直角坐标系下求平面图形的面积,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,2019/6/16,12,二、直角坐标系下求平面图形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,2019/6/16,13,三、极坐标系,1、平面上的极坐标系,如图所示：,极坐标系,O - 称为极点； Ox-称为极轴；,设M 是平面上一点，如图所示,-称为极径,-称为极角，逆时针为正，顺时针为负,- 称为点M 的极坐标，记为M,2019/6/16,14,三、极坐标系,2、平面上点的极坐标表示,如下列点的表示：,平面上点M 与一对实数一一对应,表示极点， 即极点的坐标为,2019/6/16,15,三、极坐标系,2、平面上点的极坐标表示,注： 0时，则在角 的终点的反延线上取 M 点，使 |O M |= | |,平面上点M 与一对实数非一一对应,0， 0,0,2019/6/16,16,三、极坐标系,3、极坐标与直角坐标的互化,(1) 由极坐标化直角坐标,例 点M的极坐标为 求其直角坐标.,解：,点M的直角坐标：,2019/6/16,17,三、极坐标系,3、极坐标与直角坐标的互化,(2) 由直角坐标化极坐标,例 点M的直角坐标为 求其极坐标,解,点M的极坐标：,2019/6/16,18,三、极坐标系,4、曲线的极坐标方程,1)、极坐标曲线,=常数，过原点的射线,=常数，以原点为中心的圆,如 =2，为半径为2的圆，直角坐标中的方程为：,如 ，为过原点、与x轴正向夹角为 的半射 线，直角坐标中的方程为：,2019/6/16,19,三、极坐标系,4、曲线的极坐标方程,2)、极坐标方程的建立,由已知的条件，将曲线上动点的坐标 关系式表示出来，从而得到曲线的极坐标方程.,例,解：,试求经过点A(a，0)，a0，而和极轴垂直的极坐标方程,如图所示， 设动点为,则,或,为所求的直线方程,2019/6/16,20,三、极坐标系,4、曲线的极坐标方程,2)、极坐标方程的建立,例,求一圆过极点且圆心在极轴上，半径为a，求极坐标方程,解：,如图所示，设动点为,则,或,另：若一圆过极点且圆心在垂直极轴的直线上，半径为a，则极坐标方程为：,2019/6/16,21,四、极坐标系下求平面图形的面积,面积元素,曲边扇形的面积,2019/6/16,22,四、极坐标系下求平面图形的面积,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,2019