向量代数与空间解析几何.ppt

四、向量代数与空间解析几何,（一）向量代数 1知识范围 （1）向量的概念 向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦 （2）向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 （3）向量的数量积 二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件 （4）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件 2要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的件。,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,1、向量的概念,或,或,或,1 加法：,（平行四边形法则）,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,2、向量的加减法与数乘,例1 化简,解,例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,3 向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,按照向量与数的乘积的规定，,3. 向量的坐标,1. 空间直角坐标系 M(x,y,z),o,z,x,y,x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 点M和向量OM的坐标为（x,y,z)和x,y,z,特殊地：若两点分别为,空间两点间的距离,解,设P点坐标为,所求点为,1 向量在轴上的投影与投影定理,证,于是,投影定理,定理1,2 向量的分解与向量的坐标,设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2),= (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k),= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k (2),即 a = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 为向量a的坐标表示式,记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1,分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,解,由题意知：,(3) 运算性质,设 a =ax , ay , az, b =bx , by , bz, 且为常数,(1) a b = ax bx , ay by , az bz ,(2) a = ax , ay , az,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,向量的模与方向余弦的坐标表示式,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量长的坐标表示式,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,由(5)式可得,cos2 +cos2 +cos2 = 1,(6),设ao是与a同向的单位向量,ao,= cos , cos , cos ,(7),解,解,实例,定义,3、两向量的数量积,数量积也称为“点积”、“内积”.,关于数量积的说明：,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若 为数：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,数量积的坐标表达式,解,证,实例,4、两向量的向量积,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若 为数：,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,（03二12） 由向量a=2,2,1,b=4,5,3为邻边的平等四边形的面积为_,二、典型例题,例1,解,由题设条件得,解得