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第五章 平面向量,向量的概念及其几何运算,第 讲,1,（第二课时）,题型3 共线向量与三点共线问题,1. 在平行四边形ABCD中， M是AB的中点，N在BD上，且 试推断M、N、C三点 是否共线，并说明理由.,解：因为 所以 所以向量 与 共线， 故M、N、C三点共线. 点评：用向量法证明几何中的平行或共线问题，就是用向量表示图中的有关线段，利用向量的相等得到线线平行或多点共线，如本题中的三点共线，即从这三点中任取两点构成向量，然后看这两个向量是否是共线向量.,设E、F分别是 四边形ABCD的对角线AC、 BD的中点，试推断向量 与 是否共线.,解：因为 又 所以 因为E、F分别是AC、BD的中点， 所以 所以 故 与 共线.,2. 如图，三角形ABC中， 点M是BC的中点， 点N在边AC上， AM与BN相交于点P，设 =e1, =e2.试用e1、e2 表示 . 解：因为 =e1, =e2，则 又 所以,题型4 平面向量基本定理的应用,又设 则由 得 所以 解得 所以,点评：本题向量比较多，一般取不共线的两向量作为基本向量，其他向量都往这两个向量转化，如本题中尽量往ABC的边所在向量 上转化，转化的策略是利用加减法运算合并向量或分解向量.,在平行四边形ABCD中，M、N 分别是CD、BC的中点， 设 试以a、b为基底表示向量 和 .,解：由图知， 所以 解得,3. O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点,动点P满足 0，+)，则点P的轨迹一定通过ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心,题型5 向量的几何运算,B,解：由已知得 因为 与 是单位向量， 所以 是以这两个单位向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量，从而点P在BAC的平分线上，故选B. 点评：有关向量的几何运算，是数形结合的一个方面，正确理解运算法则是基础，掌握运算规律是重点，而综合应用则是考点、难点与关键.,1.关于实数与向量的积 (1)向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积的运算过程中既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合思想的具体运用，这点提示我们解题时不要脱离了向量的几何意义. (2)对任意非零向量a， 是一个单位向量.,(3)设 (x，yR)，则P、A、B三点共线的充要条件是x+y=1. 2.向量是一个几何量，是有“形”的量，
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