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第八章 平面向量的坐标表示,8.1.3 向量的坐标表示及其运算,8.2.1 向量的数量积,一个物体在力 的作用下发生了位移 ，,问：该力对物体所做的功 为多少？,一、向量的夹角,已知非零向量, 作 ，,叫做向量 和向量 的夹角.,时， 同向,规定零向量与任意向量夹角根据需要确定,则,规定夹角范围：,时， 反向,时，称向量 与向量 互相垂直，,记作,二、向量的数量积,注意：数量积是一个实数，可以为正、负、零,定义：如果两个非零向量 的夹角为,称 叫做向量 与 的数量积,记作 ，即, 中的“ ”不能缺少，也不能更改!,(内积)，,二、向量的数量积,特别地，记 为,规定零向量与任一向量的数量积为0,思考 与 的关系是什么？,定义：如果两个非零向量 的夹角为,称 叫做向量 与 的数量积,记作 ，即,(内积)，,例1.已知,(1)向量,的夹角为 ;,，按下列条件分别求,解：,(2) ;,(1),(2),夹角为 或,当,同向时，,当,反向时，,(3) .,(3),夹角为,一个物体在力 的作用下发生了位移 ，,问：该力对物体所做的功 为多少？,三、向量数量积的几何含义,设 是非零向量，把 叫做向量 在,向量 方向上的投影，,它是数量.,投影0,投影0,投影=0,投影的正负由两个向量夹角的余弦值决定.,三、向量数量积的几何含义,的几何意义：,设 是非零向量，把 叫做向量 在,向量 方向上的投影，,它是数量.,向量 在 方向上的投影,的乘积.,数量积,思考,的几何意义是？,向量 的长度 与,例2.已知 ，,(1) 在 方向上的投影为4，求 ；,(2) ，求 在 方向上的投影；,(3) 的夹角为 ，求 在 方向上的投影.,解: (1),(2),(3),思考 ，那么非零向量 应满足？,四、两个向量内积的重要性质,(1)如果 是单位向量， 则 在 方向上的投影,(2),(3),(4),(5),课堂练习,1.已知 ，求,2.已知 ，求夹角大小.,3.已知 ，求向量
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