小二乘法与回归分析.ppt

5 化学计量学方法,6.1 引言 6.2 线性回归分析 6.3 化学因子分析 6.4 人工神经网络 6.5 小波分析 6.6 独立成分分析 6.7 支持向量机分类与回归,本课程的教学内容,最小二乘法与回归分析 化学因子分析 人工神经网络 小波分析 独立成分分析 支持向量机分类与回归分析,5.2 回归分析及检验,回归分析是研究随机现象中变量之间关系的一种数理统计方法，它在生产实践和科学研究及实验中有着广泛的应用。目前在寻找经验公式，探索新配方，制定新标准，预言效果等方面都已取得不少成绩。 在科学研究及生产实验中，常常会遇到在同一个事物中有多个变量存在，而且它们相互关联，相互制约。这种关联和制约表明它们之间客观存在一定数学的或其他的关系。但要找出它们之间数学关系的数学解析式是非常困难的，有时是不可能的。因此需要用数量统计的方法，在大量的试验中，寻找出隐藏在各变量间的统计规律性或近似的数学模型，这种关系称之谓回归关系。有回归关系的计算方法及理论叫做回归分析。,回归分析的主要内容,从一组数据出发，确定这些变量间的定量关系式； 对这些关系的可信度进行统计检验； 寻找某一个应变量和哪些自变量有关，其影响程度如何； 利用上述关系，进行预报和控制； 选择较少的试验点，获得更多的信息，对试验进行较好的设计。,5.2.1 最小二乘法原理,设实测数据为(xi,yi)(i=1,2,n)，其近似符合函数 y=(x,a1,a2,am) (nm; a1,a2,am是待定系数 ) 当用测定值x=xi(i=1,2,n)代入(4.6-1)可计算出y值，记作,不要求近似函数通过全部观测点，计算值与实测值不一定完全相等，之间的差称为残差,残差的大小是衡量待定参数a1,a2,am好坏的重要标志。,如何确定残差？,残差和 残差绝对值和 残差平方和,这样问题就归纳为求多元函数Q(a1,a2,am) 极小值点,解此方程即得参数 aj(j=1,2,m) 近似函数 y(x,a1,a2,am) 这就是曲线拟合的最小二乘法原理。,应用举例-1,问题: 改变某有色有机酸H2L的溶液的pH，测得溶液的吸光度A，计算该有机酸的离解常数Ka1，Ka2。 解:根据吸光度的加和性可得： H2LHLL 将它们用H+及Ka1、Ka2表示,则有,AH2L、AHL和AL为溶液全部以H2L、HL-或L2-形式存在时的吸光度。其中AH2L和AL 都可由实验直接测定，因为在足够高的酸度下，有机酸将全部以H2L形式存在， 这时溶液的吸光度即AH2L；同理, 在足够高的pH值时, 测得的吸光度为AL。所以 只剩下AHL不易测准。,令 y=(AH2LA)H+2 , x1=AH+, x2=AAL ,x3=H+ , Ka1=a1, Ka1 Ka2 =a2 , AHL Ka1 =a3,这是三元一次方程组, 理论上讲只要测得三组数据(pH1,A1), (pH2,A2)和(pH3,A3), 就可以 解出三元一次方程组, 算出a1，a2和a3。但是在实验中，常常带有实验误差，只凭三组 测量值进行计算会使结果很不可靠，所以，通常要测量许多组实验数据pH1,A1pH2,A2; pH3A3; pHn,An,得到n个方程, 因为n3, 该方程组为矛盾方程组, 可用最小二乘法求解。,上机作业,用光度法测定间苯二酚的离解常数Ka1 ,Ka2 ,测得溶液的pH和A的数据如下: pH 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 A 0.370 0.374 0.378 0.382 0.387 0.393 0.398 0.403 0.407 pH 4.28 4.38 4.46 4.54 4.64 4.72 4.78 4.85 4.91 A 0.407 0.403 0.398 0.393 0.387 0.382 0.378 0.374 0.370 并且测得AH2L = 0.353, AL = 0.337。 要求： 将由实验测定所得pH和A经换算后得到课堂所讲y, x, a等形式，编程语言任选； 矛盾方程组求解可以编程实现，或由统计软件中的多元线性回归分析而得； 将数据预处理程序及结果、数据处理最后结果等以附件l形式交送至化学信息学网络课堂.,5.2.2 线性回归分析,一元线性回归 通过一组实验数据进行最小二乘法回归处理，求出直线的斜率和截矩，并根据一定的统计方法处理，得到较多的统计信息，对实验数据线性相关性进行检验及进行预报等。,平均值 差方和,回归分析结果,回归方程检验,相关系数 总差方和(S)=剩余差方和(Q)+回归差方和(U) r1。越大，表示相关性越好。r0,正相关, 直线的斜率为正; r0,负相关,直线的斜率为负; r=0,不相关, 即y与x之间无线性相关关系。r值多大, y 与 x之间才有相关关系呢? 这可由自由度(f)及指定置信水平下的 rf, a值来判断, 这叫 r检验法。rf, a可以从相关系数检验表中查得。如果r的计算值大于相同f及指定a下的rf, a，则y与x显著相关，否则y与x之间无线性相关关系，拟合函数即失去意义。,F检验法 在一元线性回归分析中, fS=n-1, fQ =n-2, FU =1,根据给定的置信水平,从F检验表中查得F(fU, fQ)的临界值, 若计算得到的F值大于F(fU,fQ ), 则y与x之间有线性关系,否则, 无线性相关关系。,回归线的精度 剩余标准偏差值越小，表示根据拟合函数预报的就越准确.若在拟合函数所表示的直线两侧各画一条直线 y = a + bx + z y = a + bx - z 可以预料, 在全部可能出现的y值中, 当z=0.5时,则38.0%的点落在这两条线所夹的范围之内; 当z=1时, 则68.3%的点落在这两条线所夹的范围之内; 当z=2时,大约有95.4%的点落在这两条线所夹的范围内; 当z=3时,则99.7%的点落在这两条线所夹的范围之内。,a, b的变动性 a, b变动性的大小与剩余标准偏差的大小及xi 值的波动有关, xi 越分散, a和b就越小, 另外,a还与测量点数n有关, n值越大, a就越小。这就从统计学上说明了改进实验的方法。最后，根据拟合函数预报y时，还与x有关，即x越靠近，预报就越准，因此，在计算时，一般作内插预报，而不要任意外推。,应用举例-2,某合金钢的抗拉强度y1 (kg/mm2)和延伸率y2与钢中碳含量x有一定的关系,其实验数据如下表所示。要求预报使此合金钢抗拉强度y132kg/mm2，延伸率y233%，且要求有95%的把握满足上述要求，问含碳量在什么范围。 合金钢成分及性能实测数据 x(%) y1(kg/mm2) y2(%) x(%) y1(kg/mm2) y2 (%) 0.03 40.5 40.0 0.15 46.0 40.5 0.04 41.5 34.5 0.16 48.0 33.0 0.05 42.5 41.5 0.17 53.0 37.0 0.06 43.0 37.5 0.18 50.0 36.5 0.07 39.5 36.0 0.20 52.5 37.0 0.08 42.0 40.0 0.21 56.0 31.0 0.09 42.5 34.5 0.23 60.0 32.5 0.10 43.5 39.0 0.24 56.0 32.4 0.11 42.5 31.5 0.25 54.5 35.5 0.12 49.0 41.0 0.26 61.5 33.3 0.13 43.0 37.5 0.29 59.5 31.0 0.14 49.0 40.0 0.32 64.0 32.0 ,解 将例实测数据进行线性回归处理得如下结果： 对抗拉强度：回归方程 y1= 85.6093x +36.02 剩余标准差 1=2.3673 显著性检验 F=205.7 相关系数 r=0.9504 对延伸率： 回归方程 y2 = -25.1589x +39.89 剩余标准差 2 =2.7970 显著性检验 F=12.72 相关系数 r=0.6050 若有95%的把握满足题中条件，则应 85.6093x + 36.02 + 22.3673 32 85.6093x + 36.02 - 22.3673 32 -25.1589x + 39.89 + 22.770 33 -25.1589x + 39.89 - 22.770 33 解之得 0.0083x0.0536 因此可以预测，当合金钢的含碳量在0.0083%到0.0536之间时,可以有95%的把握说其抗拉强度大于32kg/mm2，延伸率大于33%；同理可以计算得当把握要求降至90%时,含碳量范围变为0到0.13%之间(含碳量为负时没有实际意义,舍去该值)。,一些可转化为线性回归的非线性情况,多元线性回归分析 多元线性回归的数学模型 y = a0 + a1x1 + a2x2 + + amxm 由实验测得n组相互独立的实验数据 xi1,xi2,xi3,xim,yi (i=1,2,n; nm) 多元线性回归方程的检验 总差方和(S)=剩余差方和(Q)+回归差方和(U) 复相关系数 方差比 剩余标准偏差,S的自由度 fS=n-1 U的自由度 fU =m Q的自由度 fQ=n-m-1,例7 N,N-二甲基-2-溴苯乙胺衍生物是肾上腺阻断剂当Y和Z接上不同的取代基,其生物活性是不一样的,Y和Z取代基的结构信息参数通常取其疏水值和电子参数,其结果如下表所示。,REGRESS Multiple linear regression using least squares. b = REGRESS(y,X) returns the vector of regression coefficients, b, in the linear model y = Xb, (X is an nxp matrix, y is the nx1 vector of observations).,B,BINT,R,RINT,STATS = REGRESS(y,X,alpha) uses the input,