2019高中物理第十一章第4节单摆讲义（含解析）新人教版.docx

单摆一、单摆及单摆的回复力1单摆(1)组成：细线，小球。(2)理想化模型的要求质量关系：细线质量与小球质量相比可以忽略；线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略；力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用。为了组成单摆，应尽量选择质量大、直径小的球和尽量细且不可伸长的线。2单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即Fx。(3)单摆运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。注意回复力是按效果命名的力，是沿振动方向上的合力，不是物体受到的合力。选一选关于单摆的摆球在运动中所受的力，下列说法正确的是()A摆球运动到平衡位置时，重力与摆线拉力的合力为零B摆球在运动过程中受到三个力的作用：重力、摆线的拉力和回复力C摆球在运动过程中，重力和摆线拉力的合力等于回复力D摆球在运动过程中，重力沿圆弧方向上的分力等于回复力解析：选D摆球所受外力为重力和摆线拉力，B错误；摆球的轨迹是圆弧，故重力、拉力的合力除提供回复力外，还提供向心力，C错误；摆球所受合外力在圆弧方向的分力(等于重力沿圆弧方向的分力)作为回复力，在圆弧法线方向上的分力作为摆球做圆周运动的向心力，D正确；除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力，在最低点平衡位置处，回复力为零，回复力产生的加速度为零，但有向心力，有向心加速度，故重力与摆线拉力的合力不为零，A错误。二、单摆的周期1探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。(2)实验结论：单摆振动的周期与摆球质量无关；振幅较小时周期与振幅无关；摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。2周期公式(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。(2)公式：T2，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。(3)应用：计时器(摆钟)原理：单摆的等时性；校准：调节摆长可调节钟表的快慢；测重力加速度：由T2得g，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。说明1摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球的重心的距离，而不一定是摆线的长度。2单摆的周期公式T2是在单摆的最大摆角小于5，单摆的振动是简谐运动的条件下才适用的。选一选一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的一半，则单摆的()A频率不变，振幅不变B频率不变，振幅改变C频率改变，振幅不变D频率改变，振幅改变解析：选B决定单摆周期的是摆长和当地的重力加速度，与质量无关，与单摆的运动速度也无关，当然频率也与质量和速度无关，C、D错误；当质量增为原来的4倍，速度减为原来的一半时，动能不变，势能不变，但质量变大了，摆动的竖直高度就一定变小了，也就是说，振幅变小了，B正确，A错误。1.单摆的回复力如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1Gsin 是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力FG1Gsin 。2单摆做简谐运动的推证在偏角很小时(一般情况下，摆角小于5)，sin ，又回复力FGsin ，所以单摆的回复力为Fx(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合Fkx，单摆做简谐运动。 典型例题例1.下列有关单摆的运动的说法中正确的是()A单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧法线方向的一个分力B单摆做简谐运动的平衡位置合力不为零C单摆做简谐运动的振幅等于摆动中最高点与最低点的高度差D两次相邻的经过平衡位置的时间为单摆的一个周期解析单摆做简谐运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A错误；单摆做简谐运动的平衡位置回复力为零，但合力指向圆心，不为零，B正确；单摆做简谐运动的振幅等于摆动中最高点与最低点的距离，C错误；两次相邻的经过平衡位置的时间为单摆的一个周期的二分之一，D错误。答案B点评关于单摆的回复力的三点提醒(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，“摆线拉力”与“重力沿摆线方向的分力”的合力提供向心力，这是与弹簧振子的不同之处。(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力等于回复力。(3)在平衡位置处，速度不为零，向心力不为零，此时回复力为零，但摆球所受合力不为零。 即时巩固1对于单摆的振动，以下说法中正确的是()A单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C摆球经过平衡位置时所受回复力为零D摆球经过平衡位置时所受合力为零解析：选C单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿圆弧切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为F向m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，C正确。由公式T2 知，单摆做简谐运动(摆角小于5)的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关。1摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即ll，l为摆线长，d为摆球直径。(2)等效摆长：图a中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin ，这就是等效摆长。其周期T2 ，图b中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。2重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值。(2)等效重力加速度：单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速)，一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如图所示，此场景中的等效重力加速度ggsin 。球静止在O点时，FTmgsin ，等效加速度ggsin 。 典型例题例2.有一单摆，在地球表面为秒摆，已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6。(1)将该单摆置于月球表面，其周期多大？(2)若将摆长缩短为原来的1/2，在月球表面时此摆的周期多大？(3)该秒摆的摆长多少？(g9.8 m/s2)解析(1)由单摆周期公式可知T月2 T地2 因为秒摆的周期为2秒，则式除以式得，T月T地 4.9 s(2)摆长变为时，该单摆周期变为T地T地 s则月球表面周期T月T地 s3.5 s(3)由T地2知l2g地29.8 m0.99 m答案(1)4.9 s(2)3.5 s(3)0.99 m点评(1)在运用T2时，要注意l和g是否发生变化。如果发生变化，则应求出与变化的l和g相对应的运动时间。(2)改变单摆振动周期的途径改变单摆的摆长；改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。(3)明确小角度情况下，单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。 即时巩固2一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方0.19l 处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角5，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。解析：设释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。小球在左边的周期为T12小球在右边的周期为T22 则整个单摆的周期为T 1.9答案：1.91.实验原理由公式T2，可知g，因此测出摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度值。2实验器材带孔小钢球一个、细线一条(约1 m长)、铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺等。3实验步骤(1)制做单摆让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结；把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米；则ll，即为单摆的摆长。(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于5，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量3050次全振动的时间。计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。4数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g中求出g值，最后求出g的平均值。设计如下所示实验表格 (2)图象法：由T2得T2l，作出T2 l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k，由图象的斜率即可求出重力加速度g。 典型例题例3.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g_。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是_ m。若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是_ s，单摆摆动周期是_ s。为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“”表示的点，则：(1)单摆做简谐运动应满足的条件是_。(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g_ m/s2。(结果取两位有效数字)解析由T2可知g。由图可知，摆长l(88.501.00)cm87.50 cm0.875 0 m。秒表的读数t60 s15.2 s75.2 s，所以T1.88 s。(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5。(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k。由g，可得g9.8 m/s2(9.9 m/s2也正确)。答案0.875 075.21.88(1)摆角小于5(2)关系图线略9.8(或9.9)点评用单摆测定重力加速度的5个注意(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选密度较大，直径较小的。(2)线应夹在铁夹的下面，防止因摆动而改变摆线的长度。(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小。(4)摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。(5)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，在摆球从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期。 即时巩固3根据单摆周期公式T2 ，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为_ mm。(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有_。a摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b摆球尽量选择质量大些、体积小些的c为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔t即为单摆周期Te拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期T解析：(1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18 mm60.1 mm18.6 mm。(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过5，a、b正确，c错误；为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后取平均值计算出一次全振动所用的时间，d错误，e正确。答案：(1)18.6(2)abe1一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法中正确的是()At1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小Bt2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小Ct3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大Dt4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大解析：选D由振动图象可知t1和t3时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确。2.如图所示，光滑圆弧形轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6 cm与2 cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是()AC点BC点右侧CC点左侧 D不能确定解析：选A由于运动轨道的半径远远地大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆，因此周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项A正确。3用单摆测定重力加速度，根据的原理是()A由g看出，T一定时，g与l成正比B由g看出，l一定时，g与T2成反比C由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g可算出当地的重力加速度D同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比解析：选C同一地区的重力加速度g为定值，由单摆测重力加速度的实验原理知，C正确。4多选如图所示为在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图象，其中实线表示A的运动图象，虚线表示B的运动图象。以下关于这两个单摆的判断中正确的是()A这两个单摆的摆球质量一定相等B这两个单摆的摆长一定不同C这两个单摆的最大摆角一定相同D这两个单摆的振幅一定相同解析：选BD从题中图象可知：两单摆的振幅相等，周期不等，所以两单摆的摆长一定不同，B、D正确，C错误；单摆的周期与摆球质量无关，A错误。5将一水平木板从一沙摆(可视为简谐运动的单摆)下面以a0.2 m/s2的加速度匀加速地水平抽出，板上留下的沙迹如图所示，量得4 cm，9 cm，14 cm，试求沙摆的振动周期和摆长。(g10 m/s2)解析：根据单摆振动的等时性得到、三段位移所用的时间相同。由匀变速直线运动规律xaT得T1 s0.5 s振动周期T2T11 s由单摆公式T2得l0.25 m答案：1 s0.25 m 基础练一、选择题1多选单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()A摆线质量不计B摆线长度不伸缩C摆球的直径比摆线长度短得多D单摆的运动就是一种简谐运动解析：选ABC单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确；但把单摆摆动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(5)的情况下才能视单摆运动为简谐运动，D错误。2要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是()A增大摆球的质量B缩短摆长C减小摆动的角度 D升高气温解析：选B由单摆的周期公式T2，可知周期只与l、g有关，而与质量、摆动的幅度无关。当l增大时，周期增大，频率减小；g增大时，周期减小，频率增大，B正确。3(2016衡阳高二检测)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是()A摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B摆球在运动过程中受重力、摆线张力作用，A错误；摆球的回复力最大时，向心力为零，摆线中的张力等于摆球重力沿摆线方向的分力，回复力为零时，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线方向，B正确，C、D错误。4利用单摆测重力加速度的实验中，若测得g偏小，可能是由于()A计算摆长时，只考虑悬线长而未加小球半径B测量周期时，将n次全振动，误记成n1次全振动C计算摆长时，用悬线长加小球直径D单摆振动时，振幅较小解析：选A由公式gl可知，若测得g偏小，可能是由于测得的l偏小，A正确，C错误；也可能是测得的T偏大，选项B只能使测得的T偏小，B错误；单摆振动周期与振幅无关，D错误。5多选惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重力势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是()A当摆钟不准时需要调整圆盘位置B摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移C由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移D把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移解析：选AC调整圆盘位置可改变摆长，从而达到调整周期的作用；若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长即下移圆盘；由冬季变为夏季，摆杆变长，应上移圆盘；从广州到北京，g值变大，周期变小，应增大摆长。综上所述，A、C正确。二、非选择题6.如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，求小球应从多高处自由落下(OR)。解析：小球由A点开始沿球壳内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为OR，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等。设小球由A点由静止释放运动到O点的时间为t(2n1)(n1,2,3，)，T2由于从O点正上方自由落下的小球到O的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以hgt2g(2n1)2(n1,2,3，)答案：(n1,2,3，)提能练一、选择题1如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的M处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有()AA球先到达C点BB球先到达C点C两球同时到达C点D无法确定哪一个球先到达C点解析：选AB球运动到C点用时tBT，A球自由下落用时tA，tAtB，所以选项A正确。2甲、乙两个单摆的振动图象如图所示，根据振动图象可以断定()A甲、乙两单摆摆长之比是49B甲、乙两单摆振动的频率之比是 23C甲摆的振动能量大于乙摆的振动能量D乙摆的振动能量大于甲摆的振动能量解析：选A由图可以判定甲、乙两单摆的周期之比为23，频率之比为32，B错误；根据公式T2可得摆长之比为49，A正确；振动的能量不仅与振幅有关，还与摆球的质量有关，C、D错误。3(2016烟台高二检测)如图所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，M m，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期为()A周期不变B先变大后变小C先变小后变大D逐渐变大解析：选B在沙子逐渐下漏的过程中，沙子和沙筒的重心先降低后升高，沙摆的摆长先变长后变短，根据T2可知，B正确。4多选一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O点(单摆)，在O点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕O点在竖直平面内做简谐振动，由传感器测出拉力F随时间t的变化图象如图所示，下列判断正确的是()A小球振动的周期为2 sB小球速度变化的周期为4 sC小球动能变化的周期为2 sD小球重力势能变化的周期为4 s解析：选BC单摆振动一个周期经过底部两次，则周期为4 s，A错误，B正确；由于动能、重力势能均是标