2019届高考数学复习第七章立体几何学案理.docx

第七章 立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1简单几何体(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且相等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形侧面展开图矩形扇形扇环2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图(2)作、看三视图的3原则位置原则：度量原则：长对正、高平齐、宽相等(即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽)虚实原则：轮廓线现则实、隐则虚1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分()(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱()(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选B俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.3若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A2,2B2，2C4,2 D2,4解析：选D由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为2，故底面边长为4，故选D.4(教材习题改编)如图，长方体ABCD ABCD被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是_，截去的几何体是_答案：五棱柱三棱柱5利用斜二测画法得到的三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的个数是_解析：由斜二测画法的规则可知正确；错误，是一般的平行四边形；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误，故结论正确的个数为1.答案：1考什么怎么考空间几何体的结构特征是立体几何的基础知识，很少单独考查.多作为载体与三视图、表面积、体积等综合考查，题型为选择题或填空题，难度较低.1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体2给出下列几个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选B错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等3给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_解析：不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形答案：怎样快解准解空间几何体概念辨析题的常用方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可.考什么怎么考单独考查空间几何体的直观图的题目很少，多与三视图、表面积、体积等综合考查，题型为选择题或填空题，难度较低.1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.故选A.2已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直观图ABC的面积为_解析：如图，图、图分别表示ABC的实际图形和直观图从图可知，ABAB2，OCOC，CDOCsin 45.所以SABCABCD2.答案：3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为_ cm2.解析：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.答案：8怎样快解准解1原图形与直观图中的“三变”与“三不变”(1)“三变”(2)“三不变”2原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图S原图形；(2)S原图形2S直观图题点全练角度(一)已知几何体，识别三视图1.(2018河北衡水中学调研)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()解析：选C如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形题型技法识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置角度(二)已知三视图，判断几何体2(2017北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A3B2C2 D2解析：选B在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC12.题型技法由三视图确定几何体的3步骤熟练掌握规则几何体的三视图是三视图还原几何体的基础，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可轻松解决此类问题：角度(三)已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图3如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为()解析：选D由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱故选D.题型技法由几何体的部分视图画出剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验题“根”探求根据几何体的三视图判断几何体的结构特征，常见的有以下几类三视图的形状对应的几何体三个三角形三棱锥两个三角形，一个四边形四棱锥两个三角形，一个圆圆锥一个三角形，两个四边形三棱柱三个四边形四棱柱两个四边形，一个圆圆柱冲关演练1(2018惠州调研)如图所示，将图中的正方体截去两个三棱锥，得到图中的几何体，则该几何体的侧(左)视图为()解析：选B从几何体的左侧看，对角线AD1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点故选B2.(2018石家庄质检)一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧(左)视图可能为()解析：选D由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面BCD，故选D.3.(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10B12C14 D16解析：选B由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为212，故选B.(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1.如图，ABO是利用斜二测画法画出的ABO的直观图，已知ABy轴，OB4，且ABO的面积为16，过A作ACx轴，则AC的长为()A2B.C16 D1解析：选A因为ABy轴，所以ABO中，ABOB.又因为ABO的面积为16，所以ABOB16.因为OBOB4，所以AB8，所以AB4.因为ACOB于C，所以BCAC，所以AC4sin 452，故选A.2一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选B由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部是一条水平线段连接两个三角形，故选B.3若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选D由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱故选D.4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图为()解析：选D由正视图与俯视图知，几何体是一个三棱锥与半个圆锥的组合体，故侧视图为D.5.如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P BCD的正视图与侧视图的面积之比为()A11 B21C23 D32解析：选A根据题意，三棱锥P BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高故三棱锥P BCD的正视图与侧视图的面积之比为11.6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A2 B.C. D3解析：选D根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积V2x3，解得x3，故选D.7设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的答案：8一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_cm.解析：如图，过点A作ACOB，交OB于点C.在RtABC中，AC12(cm)，BC835 (cm)AB13(cm)答案：139已知正四棱锥VABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为_解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥VABCD的高因为底面面积为16，所以AO2.因为一条侧棱长为2.所以VO6.所以正四棱锥VABCD的高为6.答案：610已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：矩形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；两个面都是等腰直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如图所示的四棱柱ABCDA1B1C1D1，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知正确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知正确；易知不正确答案：B级中档题目练通抓牢1用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A8 B7C6 D5解析：选C画出直观图可知，共需要6块2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B如图所示，由正视图和侧视图可知该几何体是由长方体ABCDA1B1C1D1截去三棱锥B1A1BC1得到的，故其侧视图为选项B.3已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是()A3 B2C6 D8解析：选C四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，连接PM，PN，则PN，PM3，SPAD42，SPABSPDC233，SPBC436.所以四个侧面中面积最大的是6.4已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为_解析：由题意可知，该几何体是三棱锥，将其放置在长方体中形状如图所示(图中棱锥PABC)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形答案：45.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于_ m.解析：把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP4，PP4，则cosPOP，所以POP.设底面圆的半径为r，则2r4，所以r.答案：6已知正三棱锥V ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA 2，SVBC226.7.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD6.由正视图可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA 6 cm.C级重难题目自主选做1(2018泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()A圆弧 B抛物线的一部分C椭圆的一部分 D双曲线的一部分解析：选D根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.2.一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A BC D解析：选D由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现故选D.(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析：选B根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.2.已知点E，F，G分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上以M，N，Q，P为顶点的三棱锥PMNQ的俯视图不可能是()解析：选C当M与F重合，N与G重合，Q与E重合，P与B1重合时，三棱锥PMNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥PMNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥PMNQ，使其俯视图为D.故选C.3.已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C由已知条件得直观图如图所示，PC底面ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.4某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是如图2所示的矩形O1A1B1C1，其中O1A16，O1C12，则该几何体的侧面积为()A48B64C96 D128解析：选C由题意可知该几何体是一个直四棱柱，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A16，O1C12，它的俯视图是边长为6的菱形，棱柱的高为4，故该几何体的侧面积为46496.5已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是()A3B2C6 D8解析：选C四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，连接PM，PN，则PN，PM3，SPAD42，SPABSPDC233，SPBC436.所以四个侧面中面积最大的是6.6一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_cm.解析：如图，过点A作ACOB，交OB于点C.在RtABC中，AC12(cm)，BC835 (cm)AB13(cm)答案：137已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为_解析：由题意可知，该几何体是三棱锥，将其放置在长方体中形状如图所示(图中棱锥PABC)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形答案：48.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于_ m.解析：把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP4，PP4，则cosPOP，所以POP.设底面圆的半径为r，则2r4，所以r.答案：9.如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥(2)其侧视图如图所示，其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BCa，AD的长是正六棱锥的高，即ADa，该平面图形的面积Saaa2.(3)V6a2aa3.10已知正三棱锥V ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA 2，SVBC226.B级拔高题目稳做准做1(2018邵阳模拟)某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是()A2B2C2 D4解析：选C由三视图可知该四面体的直观图如图所示其中AC2，PA2，ABC中，边AC上的高为2，所以BC2，AB4，而PB2，PC2，因此在四面体的六条棱中，长度最长的是BC，其长为2，选C.2(2018泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()A圆弧 B抛物线的一部分C椭圆的一部分 D双曲线的一部分解析：选D根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.3.一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A BC D解析：选D由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现故选D.4某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为_解析：由三视图知三棱锥如图所示，底面ABC是直角三角形，ABBC，PA平面ABC，BC2，PA2y2102，(2)2PA2x2，因此xyxx64，当且仅当x2128x2，即x8时取等号，因此xy的最大值是64.答案：645.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD6.由正视图可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA 6 cm.6四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形解：(1)由题意，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，BDDCD，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，又平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理，EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形第二节空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)球的体积之比等于半径之比的平方()答案：(1)(2)(3)(4)2一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()A.B.C16 D24解析：选B设球的半径为R，则由4R216，解得R2，所以这个球的体积为R3.3如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24C28 D32解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.4(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h3，所以该几何体的体积VSh33.答案：35正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_解析：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ADBC，ADBB1，BB1BCB，AD平面B1DC1.VAB1DC1SB1DC1AD21.答案：1空间几何体的表面积在高考中的考查多以三视图的形式给出，考查的载体多为柱体、锥体、球和简单组合体.题型为选择题或填空题，难度中等.求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何问题的主要出发点.典题领悟1(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836B5418C90 D81解析：选B由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.2.(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.解题师说1三类几何体表面积的求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积时通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积2避免两类失误(1)因对几何体的结构特征认识不准，混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误一定要熟记三视图中的数据反应的是空间几何体的长、宽、高，而不一定是空间几何体的棱长(如典题领悟第1题，易误认为侧棱长为6而导致解题错误)(2)在审视组合体的图形时，图形结构特征审视不准致误(如典题领悟第2题中的几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，求表面积时，应去掉两几何体的接触面)冲关演练1(2018沈阳质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是()A366 B363C54 D27解析：选A由三视图知该几何体的表面积为S2(24)3234323366.2(2018湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A496 B(26)96C(44)64 D(44)96解析：选D由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S642222(44)96.3(2018安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()A4164 B5164C4162 D5162解析：选D由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为24216，两个底面面积之和为222；半圆柱的侧面积为44，两个底面面积之和为212，所以几何体的表面积为5162，故选D.高考中空间几何体体积的考查是几何体相关问题中出现频率较高的，主要考查由三视图求相关几何体的体积.高考中主要以选择题或填空题形式出现，难度中等.典题领悟1(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63C42 D36解析：选B法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V321032663.法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V32763.2(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3解析：选A由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V12331.3(2017山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，故该几何体的体积V21121212.答案：2解题师说1处理体积问题的思路2求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换.冲关演练1(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60 B30C20 D10解析：选D如图，把三棱锥ABCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥ABCD的高为4，故该三棱锥的体积V53410.2一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C. D1解析：选C由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为1213.3某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A. B.C. D3解析：选A根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示则该几何体的体积是V几何体V三棱柱V三棱锥211211.题点全练角度(一)球与柱体的切、接问题1已知直三棱柱ABC-A1 B1 C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1 =12，则球O的半径为( )A.B2C. D3解析：选C如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .2.(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以.答案：角度(二)球与锥体的切、接问题3已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为()A. B.1C. D.1解析：选D如图，过点P作PD平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为ABC的中心AB2，SABC3，DE1，PE.S表32333.PD1，三棱锥的体积V31.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r1.4(2017全国卷)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为_解析：如图，连接AO，OB，SC为球O的直径，点O为SC的中点，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，设球O的半径为R，则OAOBR，SC2R.VS ABCVASBCSSBCAOAO，即9R，解得 R3，球O的表面积为S4R243236.答案：36题“根”探求1解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2有关几何体外接球、内切球计算问题的常用结论(1)球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形：球内切于正方体，此时2Ra；球与正方体的棱相切，此时2Ra；球外接于正方体，此时2Ra.(2)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即2R.(3)棱长为a的正四面体，斜高为a，高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a.(4)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心(5)求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出也可以先找准切点，通过作截面来解决，作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作(6)求一个几何体的外接球的半径，可以结合球心到各个顶点的距离相等列式得出(7)球与旋转体的组合通常作轴截面解题，球与多面体的组合通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作截面解题此类问题在计算时，经常用到截面圆如图所示，设球O的半径为R，截面圆O的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O的距离为d，则在RtOOM中，OM2OO2OM2，即R2d2r2.冲关演练1(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R3，R，所以这个球的体积为R3.答案：2一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于_解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r2.答案：23已知一个四面体的一条边长为，其余边长均为2，则此四面体的外接球的半径为_解析：由题意画出几何体的图形如图所示，取BC的中点为O，连接AO，DO，则AOBC，DOBC.AODOO，BC平面AOD.又OAOD，AD，OA2OD2AD2，AODO，该四面体的外接球的球心在AD的中点E与点O的连线上，设球心为G，球的半径为R，即GAGBGCGD，又G在线段OE上，AG2AE2EG2，BG2BO2GO2，EOEGGO，解得R，故此四面体的外接球的半径为.答案：(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1(2018江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A48B48C482 D482解析：选A该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S2224251221248，故选A.2如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18C20 D28解析：选A由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为R，则R3R3，解得R2.因此它的表面积为4R2R217.3.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米