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1,第一节 微分方程的基本概念,引例1: 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1 ,因此所求曲线方程为,由 得,2,引例2. 列车在平直线路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .,已知,由前一式两次积分,可得,( 为任意常数 ),利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能,停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,3,1、含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程 ,3、方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,引例1,引例2,4,4、若函数代入方程能使方程成为恒等式 , 则称此函数为,微分方程的解。,(1) 解中所含独立的任意常数的个数与方程,特解的条件称为初始条件;,的阶数相同 , 这样的解称为微分方程的通解 ;,5、用来确定,引例1,引例2,5,6、微分方程解的图形称为方程的积分曲线 .,对 n 阶方程有n个初始条件,6,例1. 验证函数,是微分方程,的解 , 并求满足初始条件,的特解 .,解:,这说明,是方程的解 .,显然 是两个独立的任意常数 , 故它是方程的通解,为常数),7,例1. 验证函数,是微分方程,的解 , 并求满足初始条件,的特解 .,为常数),是方程的通解 .,利用初始条件易得,故所求特解为,8,求该曲线满足的微分方程 .,例2. 已知曲线上点 P(x,y) 处的法线与 x 轴交点为Q ,且线段PQ 被 y 轴平分,解: 如图所示,令 Y
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