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文档简介

积分上限函数,定义 设函数 f (x) 在区间 a , b 上连续, x 为 a , b 上的变量,则,是定义在区间a , b上的函数,称其为积分上限函数.,例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数,积分上限函数,原函数存在定理,定理 如果 f (x) 在 a , b 连续,则积分上限函数,就是 f (x) 在 a , b 上的一个原函数.即:,或,例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数,原函数存在定理,证:,存在,可使,思考:已知, 求 f (1).,提示:,原函数存在定理,例:求,例:求,牛顿莱布尼茨公式,定理 若 F(x) 是连续函数 f (x) 在区间 a , b 上的 一个原函数,则,例:,例:求,例:求,证:设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数,当 x = a 得,即 (x) 也是 f (x) 的原函数.,牛顿莱布尼茨公式,又因为定积分的值与积分变量字母无关,牛顿莱布尼茨公式,例:求,例:求,例:求,例:求,牛顿莱布尼茨公式,例:已知,求,牛顿莱布尼茨公式,例:已知,求,牛顿莱布尼茨公式,例:求,例:求,例:求,例:求,例:求,例:求,和,在,的平均值.,牛顿莱布尼茨公式,例:连续可导函数 f (x) 有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求,例:,积分上限函数的导数,利用牛顿莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数 (注:此为非正规方式),设:,则,积分上限函数的导数,例:试用牛顿莱布尼茨公式理解下列积分上限 函数.,积分上限函数的导数,定理:,例:,也可用牛顿莱布尼茨公式理解此定理,积分上限函数的导数,定理:,例:求,例:求,例:求,积分上限函数的导数,定理:,设,则,积分上限函数的导数,定理:,例:求,例:求,定理:,积分上限函数的导数,例:,例:求,例:求,例:求,积分上限函数的导数,连续积分上限函数,满足:,则有,例:求,积分上限函数的导数,思考:,思考:,定积分的物理意义,变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度 v(t) 是时间间隔 T1 , T2 上时间 t 的一个连续函数,且 v(t) 0, 则 物体在这段时间内所经过的路程为：,变速直线运动的路程,例:某物体做匀加速直线运动,速度为 v(t ) = 2 + 3t; 问从 t = 0 时刻到 t = 10 时刻,求其间物体的位移.,定积分的简单应用,例:已知某物体
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