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信号与系统,*2.2 微分方程的式的建立与求解 主讲人: 忻州师院物电系 李彤明,主要内容,物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法,复习求解系统微分方程的经典法,一物理系统的模型,许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。,二微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。,例2-2-1,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。,求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,例2-2-2,机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧,牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为,三n 阶线性时不变系统的描述,一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。,四求解系统微分方程的经典法,分析系统的方法：列写方程，求解方程。,求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。,我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 时的方程的解，初始条件,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。,初始条件的确定是此课程要解决的问题。,经典法,全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。,例2-2-3,系统的特征方程为,特征根,因而对应的齐次解为,例2-2-4,如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。,给定微分方程式,将此式代入方程得到,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,这里，B是待定系数。 代入方程后有：,(2),例2-2-5,根据电路形式，列回路方程,列结点电压方程,(1),（1）列写电路的微分方程,(2)求系统的完全响应,系统的特征方程,特征根,齐次解,方程右端自由项为,代入式(1),要求系统的完全响应为,特解,(3),换路前,因而有,由于电容两端电压和电感中的电流
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