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2019/6/18,1,北达教育旗下北京中考网2019/6/18,2,中考复习 圆的基本性质,几何第十四、五课时,2019/6/18,3,2008中考考试目标,圆的基本性质 (1)理解圆及其有关概念 b (2)了解弧 、弦、圆心角的关系 a (3)探索并了解点与圆的位置关系 c 探索圆的性质 c 了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角 的特征 a 了解三角形的外心 a,2019/6/18,4,知识体系,圆,基本性质,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,概念,对称性,垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系定理,圆周角与圆心角的关系,切线的性质,切线的判定,弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算,位置分类,性质,2019/6/18,5,圆的定义辨析,篮球是圆吗？ 圆必须在一个平面内 以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 圆是“圆周”还是“圆面”？ 圆是一条封闭曲线 圆周上的点与圆心有什么关系？,2019/6/18,6,点与圆的位置关系,你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？,如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则： 点在圆上 d=r 点在圆内 dr,2019/6/18,7,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。,问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？ 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C90,ABC是锐角三角形,ABC是钝角三角形,2019/6/18,8,垂直于弦的直径,及其推论,2019/6/18,9,从特殊到一般,想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？ 性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,2019/6/18,10,垂径定理,垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,2019/6/18,11,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,2019/6/18,12,练习,若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,2019/6/18,13,变式1：AC、BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗？,变式3：EA_, EC=_。,OA=OB,OC=OD,变式练习,2019/6/18,14,如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,辅助线,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,2019/6/18,15,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。,推论1,2019/6/18,16,如图，CD为O的直径，ABCD，EFCD，你能得到什么结论？,推论2,弧AE弧BF,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,2019/6/18,17,圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系,2019/6/18,18,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,2019/6/18,19,猜想与证明,如图，AOBAOB，OCAB，OCAB。 猜想：弧AB与弧AB，AB与AB，OC与OC之间的关系，并证明你的猜想。,定理 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。,在同圆或等圆中，,2019/6/18,20,圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。,推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。,在同圆或等圆中 (前提),圆心角相等 （条件）,定理推论,2019/6/18,21,把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。1的圆心角所对的弧叫做1的弧。,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,一般地，n的圆心角对着n的弧。,弧的度数,2019/6/18,22,圆周角,2019/6/18,23,圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.,看清要点,2019/6/18,24,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,定理,圆周角定理,分类讨论,完全归纳法,数学思想,2019/6/18,25,1、已知AOB75，求： ACB,2、已知AOB120，求： ACB,3、已知ACD30，求： AOB,4、已知AOB110，求： ACB,2019/6/18,26,推论,定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。,弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,2019/6/18,27,如图，比较ACB、ADB、AEB的大小,同弧所对的圆周角相等,如图，如果弧AB弧CD，那么E和F是什么关系？反过来呢？,等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等,如图，O1和O2是等圆，如果弧AB弧CD，那么E和F是什么关系？反过来呢？,等圆也成立,2019/6/18,28,推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。,2019/6/18,29,推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径。,推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,2019/6/18,30,关于等积式的证明,如图，已知AB是O的弦，半径OPAB，弦PD交AB于C，求证：PA2PCPD,经验： 证明等积式，通常利用相似； 找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；,2019/6/18,31,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,问题（1）：你能找出图中相等的圆周角和相等的线段吗?,步步高升,问题（2）：图中有哪些相似的三角形？,问题（3）：若点C在圆上上运动（不和A，B重合），在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？,2019/6/18,32,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,问题（4）：若弦AB= , BAD=30, 在点C运动的过程中,四边形ADBC的最大面积为多少?此时CAD等于多少度?,步步高升,2019/6/18,33,如图，弦AB和CD交于点P,且CD是ACB的平分线,问题（5）：若弦AB= , BAD=30, 在点C运动的过程中, 当CAD等于多少度时,四边形ADBC是梯形?证明你的理由,步步高升,2019/6/18,34,80,110,1、判断： 三点确定一个圆 （ ）,练 习,2019/6/18,35,课前热身,3. 如图所示，矩形ABCD与O交于点A、B、F、E，DE1cm,EF=3cm,则AB cm。,4.若AB分圆为15两部分，则劣孤AB所对的圆周角为 ( ) A.30 B.150 C.60 D.120,5,A,2019/6/18,36,6.下列说法中，正确的是 ( ) A.到圆心的距离大于半径的点在圆内 B.圆周角等于圆心角的一半 C.等弧所对的圆心角相等 D.三点确定一个圆,C,5.(2004年昆明市)如图所示，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则A+B+C+D+E的度数是 ( ) A.180 B.150 C.135 D.120,A,课前热身,2019/6/18,37,7、已知O的面积为16. （1）若PO2.8，则点P在O_. （2）若PO4， 则点P在O_. （3）若PO5.8，则点P在O_.,（1）时，与相切,（2）时，与相交,（3）时，与相离,8、如图，RtABC的斜边AB， AB， B，以为圆心作圆，半径为,2019/6/18,38,例1；(1)如图,已知AB、CD是O的两条弦,OE、OF 分别为AB、CD的弦心距,如果AB=CD,则可得出(至少 填写两个),AOB=COD,OE=OF,(2)如图2,在O中,弦AB=1.8cm,ACB=30,则O的直径等于,(3)如图3,AB是半圆O的直径,E是 弧CB的中点,OE交弦BC于 点D,已知BC=8cm,DE=2cm.则AD的长为 cm,3.6cm,2019/6/18,39,例题讲解,例2、如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,C,2019/6/18,40,例题讲解,例3、如图，在O中，AC=BD， (1)图中有哪些相等关系？ (2)如果1=45，求2的度数。 (3)如果AD是O的直径，1=45 求BDA的度数,2019/6/18,41,例4:如图,AC是O的直径,弦BD 交AC于点E.,ADEBCE吗？ 说明理由;,(2)若CD=OC,求sinB的值.,解:,ADEBCE, A=B, D=C, ADEBCE,(1),(2),若CD=OC,则AC=2DC,又 AC是O的直径,ADC=90,2019/6/18,42,【例5】(2003年广州市)如图，A是半径为5的O内的一点，且OA=3，过点A且长小于8的弦有 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条,A,【解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于OA的弦长BC=2 =8即过A点最短的弦长为8，故没有弦长 小于8的弦，选(A),典型例题解析,2019/6/18,43,典型例题解析,【例6】在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.,【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没 有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆 的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有 两种不同的情况，如图(1)和(2),图(1)中 OC= =120(mm) CD=80(mm) 图(2)中OC=120(mm) CD=OC+OD=320(mm),2019/6/18,44,【例7】如图，O是CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE. 求证： (1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE.,典型例题解析,2019/6/18,45,【解析】 (1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等， 又已知OA是CAE的平分线，联想到角平分线性质， 故过O分别作OGAC于G， OHAE于H， OG=OH BC=DE (2)由垂径定理知：BC=DE，G、H分别是BC、DE的中点. 再由AOGAOH AG=AHAB=AD AC=AE. (3)AC=AEC=E，再根据圆的内接四边形的 性质定理知C=ADBE=ADBBDCE.,2019/6/18,46,课时训练,1.如图，设O的半径为r，弦AB的长为a，弦心距 OD=d且OCAB于D，弓形高CD为h，下面的说法或等式： r=d+h 4r2=4d2+a2 已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( ) A. B. C. D.,C,2019/6/18,47,2.(2004上海)下列命题中，正确的是（多项选择题） ( ) A.一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在 圆外 B.一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线 C.两圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条 公切线 D.圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线 与圆有两个交点,A、C、D,课时训练,2019/6/18,48,3.(2004山西)如图所示，已知RtABC中，C=90,AC= ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP 。,课时训练,2019/6/18,49,课时训练,30,2019/6/18,50,5.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么这条弦所对的圆周角为 ( ) A.60 B.120 C.45 D.60或120,D,6.(2003年江苏苏州市)如图，四边形ABCD内接于O，若它的一个外角DCE=70，则BOD=( ) A35 B.70 C110 D.140,D,课时训练,2019/6/18,51,2019/6/18,52,例1 (1) O的半径为2,点P是O外一点, OP的长为3,那么以P为圆心,且与O相切的圆的半径一定是( ),A. 1或5 B. 1 C. 5 D.1或4,(2)若半径分别为2与6的两个圆有公共点,则圆心距d的取值范围是( ),A. d8 B.d8 C.4d8 D.4d8,A,D,2019/6/18,53,例3 如图4,4-4,游乐园的大观览车半径为25m,已 知观览车绕圆心O顺时针做匀速运动,旋转1周用12min, 某人从观览车的最底处(地面A处)乘车,问经过4min后,此 人距地面CD的高度是_米(观览处最低 处距地面的高度忽略不计).,解:设4m