椭圆的几何性质.ppt

9.11.2 椭圆的几何性质（1）,紫金县职业技术学校 数学科组,学习目标,1、通过椭圆的标准方程理解椭圆的几何性 质；（结合图形进行理解） 2、根据椭圆的几何性质作出椭圆的图形；,一、课前练习(5分钟内完成）,1、已知椭圆 的焦点F1、F2 ，点A在椭圆上，则AF1F2的周 长是 ； 2、已知椭圆 的焦点F1、F2 ，过焦点F1作直线L与椭圆将于A、B 两点，则ABF2的周长是 ； 3、已知点A（x，y），那么与点A关于X轴对称的点B的坐标是： ， 与点A关于Y轴对称的点C的坐标是： ，与点A关于原点对称 的点D的坐标是： 。 4、设P（x,y)是椭圆 上任意一点，那么点p1 （-x,y) ,p2 （x,-y), p3 （-x,-y)与椭圆的关系是： 。说明椭圆关于 、 和 原点都是对称的。 5、椭圆x2+4y2=16与x轴的交点坐标是 ， ；与y轴的 交点坐标是 ， 。,16,20,(x,-y),(-x, y),(-x,-y),都在椭圆上,X轴,y轴,二、新课教学,根据椭圆的定义，我们得出了它的标准方程：,1、范围 （函数图象上的点（x,y）的取值范围）, ，,则|x|a ， |y|b,所以椭圆的范围是： -a x a; -b y b,其几何意义是：椭圆的图形在由直线x=a,y=b围成的矩形里。如上图,或,下面以焦点在X轴上的椭圆标准方程为例，研究椭圆的几何性质：,2、对称性,由课前练习第4题可知，椭圆关于X 轴、Y轴和原点都对称。 一般描点作椭圆，只要先列表作第一 象限的图象，其余便可用对称方法作出。,3、顶点 （椭圆与坐标轴的交点）,椭圆与X轴的交点： 由 ，令y=0得：A1(-a,0),A2(a,0),椭圆与Y轴的交点： 由 ，令X=0得：B1(0,-b),B2(0,b),椭圆的顶点有四个。,线段A1A2叫做椭圆的长轴，长轴长为2a；其中a 叫长半轴长；,线段B1B2叫做椭圆的短轴，短轴长为2b；其中b 叫短半轴长；,当e越趋于1,则b越趋于0,此时椭圆 越扁；当e越趋于0,则b越趋于a,此时椭圆趋于圆；如果a=b,则c=0, 两个焦点重合，此时椭圆就变成了圆，椭圆的标准方程就变成了圆 的方程。 至此，我们研究了椭圆的几何性质-范围、对称性、顶点、 离心率。只要求出了它们就可以把椭圆画出来。,4. 离心率,椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。因为ac0,则 0e1,这是判断圆锥曲线是否是椭圆的标志。,由 知 ，,三、师生互动,1、求椭圆4x2+5y2-40=0的范围、焦点坐标和离心率。,分析：先把椭圆方程化成标准形式，找出a和b，就可以确定 椭圆上的点(x,y)的范围，即图象范围。再通过关系式： a2=b2+c2,可以得出c ,就可以写出焦点坐标（注意焦点所在何 轴），也可算出椭圆的离心率e。,解：原方程经移项、整理，得椭圆的标准方程：,椭圆的范围是：,c2=a2-b2= , c=,椭圆的焦点坐标是：F1（ ），F2（ ）,椭圆的离心率是： =,2,2、ABC的一边的两个顶点B(0,-3)和C(0,3),另两边的斜率的乘积为-9/4，求顶点A的轨迹方程，并画出它的草图。,分析：求轨迹方程，首先要设曲线上的动点 (x,y)，其次找出满足条件的关系式，把动点坐标(x,y)代入化简整理，即可得到所求的轨迹方程，再根据方程可以判断其图象是何曲线。,解：设顶点A (x,y)，依题意得：,KABKAC=-9/4，,整理得：,9x2+4y2=36,即：,所以，点A的轨迹方程是焦点在Y轴上的椭圆。,1、椭圆 的顶点坐标是 ； 长轴的长= ，短轴的长= ，离心率e= ； 2、椭圆x2+4y2=16的顶点坐标是 ， 长半轴的长= ，短半轴的长= ，离心率e= ； 并画出其草图。 3、椭圆的长轴长为12，离心率e=1/3，焦点在x轴上，它的标准方程是： ； 4、椭圆的离心率e=1/2，焦距为 ，那么它的标准方程是： ；,四、课堂练习,提示：对比一下第3、4题有何差异。求椭圆的 标准方程，要考虑焦点在何轴和找出a2、b2,代 入即可。,五、课堂小结,1、我们研究了椭圆的几何性质-范围、对称性、顶点、 离心率。只要求出了它们就可以把椭圆画出来。 2、求椭圆的几何性质时，把椭圆方程化成标准形式，找出a 和b，就可以确定椭圆上的点(x,y)的范围，可写出顶点坐标。 再通过关系式： a2=b2+c2,可以得出c ,就可以写出焦点