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热量传输 11.导热问题的数值解法,有限差分方法的基本原理,用差商近似代替导数（微商） 有限差分方法就是把微分方程中的 导数近似地用有限差商代替，将微 分方程转化为相应的差分方程，通 过求解差分方程得到微分方程解的 近似值。,有限差商,稳态导热的有限差分方法,以常物性、无内热源矩形区域的二维稳态导热为例,差分方程的建立差商代替微商,将求解区域划分为有限个网格单元,生成网格,建立差分方程,稳态导热的有限差分方法,差分方程的建立热平衡法,差分方程的建立边界节点,差分方程的建立边界节点,例：一圆形金属棒，长L=0.5m，横截面积为A=0.01m2，其导热系数为常数1000W/m.，无内热源，金属棒两端温度已给定，分别为100、500，且不随时间变化，金属棒径向的温度变化忽略不计。求该金属棒内的温度分布。,解：,解析解 数值解,解：,解：,解：,差分方程组的求解,雅可比迭代：,特点：计算第k+1次的值时，全部使用第k次迭代的值，收敛速度比较慢,解,解,高斯赛德尔迭代：,特点：总是使用节点温度的最新值,差分方程组的求解,解：,例：一矩形板，长400mm，宽200mm，其导热系数为常数，无内热源，假定该板各边界上的温度已给定，且不随时间变化，在厚度方向的温度变化可忽略不计。求该矩形板内的温度分布。,第一类边界条件下的二维稳态导热问题,不稳态导热的有限差分方法,显式差分方程,以无限大平板一维导热为例，并假定平板内无内热源，热物性参数为常数,显式差分方程,显式差分方程的稳定性问题,有一无限大平板，初始温度为0，开始时平板两侧温度突然升高到100，以后保持不变。假定平板分成10份，选取F=1，内部节点方程及空间步长、时间步长如下：,用显式差分方程求解不稳态导热时，解出现的波动现象称为解的不稳定性问题,显式差分方程的稳定性问题,显式差分方程的稳定性判据 F值的大小应满足使差分方程中 系数不为负值,内部节点： 绝热边界节点： 对流边界节点：,隐式差分格式，无条件稳定，计算过程相对复杂,显式差分方程的稳定性问题,试用热平衡法推导二维不稳态导热内部节点的显式差分方程，并求其稳定性判据？假定x,y方向的空间步长相等，热物性参数为常数，无内热源。,解：,解：,一厚度为240mm的板坯断面上初始温度均匀等于1000，突然放到20的空气中
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