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圆的标准方程,楚水实验学校高一数学备课组,一、问题情境:,1.在平面内点A(3,4)到原点0的距离为多少? 在平面内点B(-3,4)到原点0的距离为多少?,A,2.平面内还有点到原点距离为5的吗?有多少个?,O,什么样的点集叫做圆？,平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径。,二、建立圆的标准方程,求圆心（a ,b ），半径是r 的圆的方程。,如图（），设M(x ,y )是圆上任意一点，根据定义，点到圆心的距离等于r ，所以圆就是集合 r ,式两边平方，得,方程就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我 们把它叫做圆的标准方程。,特别的，如果圆心在原点，这时 ，那么 圆的方程是,圆的标准方程,特点： 1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项； 2、明确给出了圆心坐标和半径。,3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r .,4、若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r2,三、圆的标准方程的应用,例1 写出下列各圆的方程： 圆心在原点，半径是； 圆心在点 ，半径是 ； 经过点 ，圆心在点 。,答：,点评：中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设 ，用待定系数法求解。,例 说出下列圆的圆心坐标和半径长：,解：圆与直线 相切，,圆的方程为,圆心 到 的距离,例 求以 为圆心，并且和直线 相切的圆的方程。,例4 已知圆O的方程为 ,判断下面的点在 圆内、圆上、还是圆外？,解： ，点 在圆上；, ，点 在圆内；, ，点 在圆外。,的内部，求实数a 的取值范围,1、(P107：7)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24,练习：,2、求满足下列条件的各圆C的方程： (1)和直线4x3y50相切，圆心在直线xy10上，半径为4； (2)经过两点A(1,0)，B(3，2)，圆心在 直线x2y0上,3、(P102：3)已知圆过点P(4，3)，圆心在直线2xy10上，且半径为5，求这个 圆的方程,例5 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?,解：如图，设切线的斜率 , 半径OM的斜率为 ，因为圆的 切线垂直于过切点的半径，于是,经过点M的切线方程是,整理，得,当点在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适 用。,思考：是否可以用平面几何的知识求此切线方程。,例6 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,小结： 在 上时，过 的切线为 ；, 在 上时，过 圆的切线方程为,2、求圆标准方程即求圆心坐标和半径; 题型有:,(1) 给出半径和圆心； (2) 给出圆心和圆上一点； (3) 给出圆心和圆的一条切线方程； (4) 给出圆的直径的端点坐标； (5) 给出圆的两条切线和圆心所在直线方程.,四、课堂小结,1、圆的标准方程为：,强调学生的自主探索:,某圆拱梁的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，求支柱A2P
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