授课提纲11-运动学.ppt

第5章 点的运动学, 矢量法, 直角坐标法, 自然（弧坐标)法, 应用举例,运动学： 以几何观点(几何公理)研究物体的运动(轨迹,速度和加速度), 不考虑物体运动的原因.,5-1 运动学的基本概念,固定参考系: 一般采用固连于地球上的坐标系为 参考系,称为固定参考系.,时间: 瞬时和时间间隔,瞬时,时间间隔,参照物-参考体-参考坐标系-参考系 对任何物体运动的描述都是相对的。,刚体：可看作由无穷多个点的组成的不变形的几何体。,点：就是指不计其形状、大小、只在空间占有确定位置的几何点,直线运动,曲线运动,5-2 点的运动方程及 动点的速度和加速度,一 矢径法,1.点的矢径运动方程,设动点M 沿任一空间曲 线运动，选空间某确定 点O作为原点，则动点的 位置可由如下的矢径 来表示：,r = r (t),运动方程,研 究飞机的 运动轨迹时，飞 机可视为质点。,2.点的速度(定义）：,3.点的加速度（定义）：,速度(velocity),速度大小等于矢量的模。,指向与点的运动方向一致；,速度的方向沿着运动轨迹的切线；,点在t瞬时运动快慢和运动方向的力学量。,加速度(acceleration),加速度大小等于矢量a的模。,加速度的方向为v的极限方向 (指向与轨迹曲线的凹向一致),描述点在t瞬时速度大小和方向 变化率的力学量。,小结,二 直角坐标法,设动点M 在空间运动，它在空间任一瞬时的位置也可用 一个固体的直角坐标系的三个坐标x, y, z来确定：,1. 点的运动方程,2. 点的速度：,(Oxyz)为定参考系,3. 点的加速度：,例 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与 规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别 在相互垂直的滑槽中运动。,求：1.M 点 的运动方程； 2. 轨迹； 3. 速度； 4. 加速度。,解：点M(x,y)作曲线运动，取坐标系xoy,运动方程,消去t, 得轨迹,速度,加速度,建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置： 对于直线坐标，位于坐标轴的正向； 对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。,例：半径为r的圆轮放在粗糙的水平面上，轮心A以匀速v0前进，求轮缘上任一点的运动规律。,解：在轮缘上任取一点M （不能是特殊点）；,x,y,找一固定点O建立直角坐 标，标出M点的位置坐标；,D,B,C,纯粹用几何方法找出该坐标的长度， 最终表为时间t的函数-即为运动方程。,x=OC=OB-CB,y=MC=AB-AD,=vot-rsin,=r-rcos,速度、加速度请同学们做。,例 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。,求：点的速度和加速度及运动轨迹的曲率半径。,解：由点M的运动方程，得,三 自然法,设动点M 沿已知的轨迹曲线运动时，在轨迹上任选一点 O作为参考点，并设点O的某一侧为正向，则动点M 的位 置标量-弧坐标s来表示，s将随时间而变，并可以 表示为时间t 的单值连续函数：,1、点的运动方程, 弧坐标要素与运动方程,弧坐标具有以下要素：,1、有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点)；,2、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向)；,3、有相应的坐标系(自然轴系)。,自然坐标轴 的几何性质,副法线单位矢量,2. 自然轴系,s -,s +, 自然轴系,自然轴系PTNB,P空间曲线上的动点；,T 过动点P的密切面内 的切线，其正向指向 弧坐标正向；,N 密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向 曲率中心；,B 过动点P垂直于切线 和主法线的直线，其 正向由BTN确定。,跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。,密切面,法平面,右手定则,曲率和曲率半径(定义),单位切向量,3. 速度,4. 加速度,点的速度在切线轴上的投影等于 弧坐标对时间的一阶导数。,?,当0时， 和 以及 同处于P点的密切面内，这时， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。,单位法向量, 几点讨论,1. 矢径法,2. 直角坐标法,3. 自然法, 描述点运动的三种方法比较, 矢量法结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。, 直角坐标法实际问题中，一种广泛应用的方法。, 弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。,例: 曲柄连杆机构如图,求滑块B的运动规律、速度及加速度。,解： 分析要求点的轨迹若为直线运动，则建立直线轴x，取一固定点作为原点，将要求点置于坐标轴上任意位置（不要放在特殊位置），标出动点在坐标轴上的位置坐标x，纯粹用几何方法找出x的长度，并表成时间t 的函数，即为运动方程。,x,x,动画, x = rcost+ lcos,而,例：杆AB绕A点转动时，拨动套在固定圆环上的小环M， 已知：R， = t（ 为常数 ）分别用直角坐标法和 自然轴法求：M点的运动方程、速度、加速度。,解：建立坐标系如图,则,vx = 2 Rcos2t vy = -2 Rsin2t,= 2 R,x = Rsin2 = Rsin2t y = Rcos2 = Rcos2t,ax = -4 2Rsin2t ay = -4 2Rcos2t,vx = 2 Rcos2t vy = -2 Rsin2t,x = Rsin2t y = Rcos2t,= 4 2R,= - 4 2x,= - 4 2y,a = ax i + ay j,= - 4 2 (xi + yj),= - 4 2 r,由