高三数学复习基于创新模式综合题教学研究.ppt

高三数学复习 基于创新模式的综合题教学研究,连春兴,一、关于提升解题教学效率问题,看北京情况，解题教学常见两种误区： （1）学生思维参与度低，教师热衷单向讲授，甚至解法罗列。 （2）不追求深入理解概念、不突出落实通性通法，但追求一些对号入座的所谓解题规律、应试技巧。 两种现象都造成学生内化程度降低，过分依赖大量练习，题型覆盖，虽有效果，但投入和收效不成正比，试题一变，往往束手无策。导致解题效率低下。,什么是理想的解题教学？,与其说教解法，不如说教想法。 学生独立思考说“想法”（必要时教师引导）； 其他同学质疑、补充，实施“想法”，落实到纸笔功夫； 最后师生提炼思想方法。一个回合过后，讨论变式、一题多解、多变。 强调学生说“想法”符合建构主义的观点，如同睡觉，要亲自睡，别人不能替,如此教学方式在生源优质校没困难，在一般学校，可先在个别班实施，基础不好的学校，不妨从课堂局部做起 这样做的好处在于： （1）着力改善解数学题过分依赖题型记忆、复制模仿的状况。 （2）尽力使学生在崭新的习题情境前，根据已有的数学经验，以研究者的心态，挖掘隐含信息，分析、解决问题。,学生形成“想法”要经历如下心路历程 （1）阅读理解； （2）挖掘隐含信息； （3）依据自己的固有经验、思想方法，实现化归。 学生独立思考，形成想法的意志力需要在失败中磨砺，需要在成功中固化。 更需要稳定的数学思想方法构成心理基础的支撑。,常用的思想方法有哪些？,史宁中先生提出数学三大基本思想： 抽象（催生数学）、推理（发展数学）；模型（反促数学） 这最上位的三大基本思想又演变、派生出许多思想，反映出大道理统驾小道理。比如：,抽象的思想-符号表示、集合划分、分类讨论、有限与无限，等等； 推理的思想-公理化、归纳、演绎、转换划归、联想类比、恒等代换、特殊与一般的思想，等等； 建模的思想-函数建模、方程建模、随机抽样、概率模型，等等； 中学生解题中常用的数学思想都可以追溯到三大基本思想上。,“数学思想”往往是观念的、概括的。 “数学方法”往往是操作的、程序的。 解决问题时，数学思想支配程序化操作，形成数学方法。 相对上位的“基本方法”有：函数与方程、演绎（合情）推理、等价变形（化归）、分类讨论、数形结合，等。 相对下位的有：消元、换元、配方、待定系数法、反证法、分析法、综合法等等。,解题时思想统领方法，方法体现思想。 二者相比而言，数学思想是教学的精髓，若没有思想只能培养“熟练工”。 但是，教学中的一些功利做法往往是强调方法而忽略思想，这不利于考试时的稳定发挥。,二、解题教学中常用思想方法的强化,从天津卷难度系数引发的思考,理科平均95分（0.63），文科平均80.4（0.54），我粗算2013天津卷，基础题、中档题超过100分，所以，这个成绩还有提升空间。空间最大的是： 几个平均不及格的题-8题（图像平移）0.43，12题（向量）0.53，13题（平面几何）0.42,14题（均值不等式）0.1,19题（数列）0.28,20题（导数）0.2.,1、函数思想方法的运用,三个层次的问题： （1）强化学生勾勒函数草图的习惯 （2）提升函数建模的自觉性 （3）用函数的观点审视综合问题,（1）强化学生勾勒函数草图的习惯,几道题足以说明，天津卷非常重视勾画函数草图，数形结合能力的考查。 “数形结合”既是能力，也是习惯，基础不好的同学解题时，往往缺乏借助“草图”的直观性，揭示较为隐蔽的数量关系的习惯。 通过练习来促进数学基础一般的学生养成这种习惯，不仅可行，而且有效。 再举两例:,此题有考查阅读理解，挖掘隐含信息的功能（注意定义域的特殊表示），除勾画周期为4的正弦波外，还要读懂集合At和极差函数h(t) 才能解决。,根据从一般到特殊的思想方法，取集合Ao，即以原点为心， 为半径的圆截得正弦波部分的函数值构成（如图）,圆心在曲线上运动，半径不变，极差函数h(t)的最大值，单调性观察易得。 这是一道考查综合能力的好题。,最有效还是勾勒草图。由函数ln(x+1)(x0)的图像在直线y=ax上方，可知a 0; 由函数 的图像在直线y=ax上方知a -2； （-2是函数在x=0处的导数） 故选2,0。,函数 与直线y=ax的草图,如此选项，值得组织研究性学习,（2）提升函数建模的自觉性,但此题教学到此为止，火候不够，因为“1=a+b/2” 的代入，是技巧性问题。 难度系数0.1说明，天津学生用自己的实际行动，印证了李邦河院士如下名言： 数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！,所以，从学好数学的角度，真正有意义的，具有实效性的教学，还在通性通法,（3）用函数的观点审视数列问题,一般的，f(x)与1/f(x)增减性相反，与-1/f(x)增减性相同。所以，f(x)-1/f(x)与f(x)增减性相同。,2、方程建模问题,运用方程解决问题，题材非常广泛，如函数（数列），解析几何等内容，往往体现为“一个条件、一个方程”。 “待定系数法”更离不开利用方程模型确定所求系数。 但培养主动的方程建模能力，比方程的直接使用，要求更高。,3、向量工具的灵活运用,本题的难度与北京比，不是难题，但理科0.53，文科0.25.也许说明向量教学比较薄弱。 我们如何系统的认识向量知识？ 类比解析几何，它们都是基于“代数方法解决几何问题的产物。 解析几何中 “坐标法”有“三步曲”，向量工具解决几何问题也有“三步曲”：,选不共线向量作基底，把几何元素向量化，为几何元素插上向量（运算）的翅膀（基本定理的奠基作用）； 通过向量运算研究几何元素之间的关系； 把运算结果“翻译”成几何关系。,解析几何依赖于坐标系，向量几何可以建系，但是不依赖于坐标系。 由此导致两种运算形式： （1）整体运算（几何元素向量化）不强调基向量的规范化，直接利用法则进行运算，但强调“选代表”(基向量）线性表示； 数学中“基底决定整体”，用至简的量表示其它量，是符号化思想的运用（归属抽象思想）。,（2）向量坐标运算强调基向量的规范化：正交，模长取1，分离出两个基向量系数，完成任意向量的（直角）坐标表示； 向量的坐标化表示推出平面向量的坐标运算公式，更便于操作。 但难点在于建系，准确确定相关点的坐标。,反思向量之“魅力”,（1）向量基本定理决定了向量工具解决几何问题的完备性。 （2）数乘不变共线圆满解决了“平行”的相关证明问题（证明方向向量的数乘关系）； （3）数量积为零等价于“垂直”，圆满解决了“垂直”的相关证明问题；有时比斜率之积为-1好用；,（4）数量积运算（映射）的不封闭性，搭建了向量与实数的直通车，解决了模长（两点间距离）的计算问题； （5）数量积运算公式的逆用，解决了“成角”问题。弥补了向量无旋转变化的不足。 （6）与“综合法”立足于演绎推理相比， “向量法”长于计算推理，减轻“构图”负担。 这样认识向量，无疑可提升教学效率。,向量问题精品试题，如,由此可见，用向量解决一些数学问题，应该作为一种数学素养来培养。,（2）题在考场上，如不能把PB表示出来，就可能卡壳，决定胜负的是卡壳后，能否想出更一般的方法.,我们不妨以B为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系， 设P（a,b).运用向量工具得如下解法：,4、分类讨论策略的运用,在解题教学中，解题策略的生成，要自然和谐、顺势而为，要符合学生的认知基础认知习惯、固有经验。如有牵强，很难促使学生内化，导致效率降低。 以课标（）卷21题为例（河北难度系数0.25）：,（1）要让学生明确，曲线过同一点，点的坐标满足解析式（方程）；同切点、同切线，在该点导数都是4；四个系数、四个方程， 易得a=4， b=2， c=2， d=2.,纵观上述解答过程，有两点值得总结：,（1）如果没有发现k 1,导致过程繁琐，但这是合理的，在学生亲历的解题过程中，自己多走一点这样的弯路，对提升能力是有益的。 解题过程中简捷的方法，来自解题者的经验，而经验是难以直接传递的，绝大部分靠亲力亲为。,（2）关于分类讨论，上述过程经历三级分类： 判断导函数是否保号或零点个数，必须分类k0或k0； 当k0时，导函数有两零点，由判断零点大小必须分三类； 在-lnk-2(即0ke)前提下，判断最小值F(-lnk)的符号，又被迫分类（0k1或1ke )。,所以，我们有理由认为，分类讨论是在题设条件使结果不唯一的情况下，增设条件，使结果唯一的无奈之举。 这样认识“分类讨论”，就把它视为“增设条件”使结果唯一的问题解决策略。 还可以帮助我们形成评价意识：能不分类谁分类？分类的标准是否使结果唯一？是否简捷、是否优化？,5、等价转化能力的培养,用自己已有的知识，说明简单事实，如本题（1），（2），是需要教师在平时教学中，有意培养的一种能力，素材俯拾皆是。 例如,初学直线，用解析法求证：在点P(1,-1)到直线x+y+2=0任意点的连线中，垂线段最短。 此题需要（1）设Q(m,n)为直线上任意一点，消元，用n表示m； （2）构建函数|PQ|=f(n),求最小值点，并求点Q坐标； （3）证明直线P