《高数相关》PPT课件.ppt

Slide 1 (of 65),5.3 二阶ODE,5.3.1 可降阶的二阶ODE,5.3.2 二阶线性ODE解的结构,5.3.3 二阶常系数齐次线性ODE,5.3.3 二阶常系数非齐次线性ODE,Slide 2 (of 65),5.3.1 可降阶的二阶ODE,一、 型，推广至,三、 型,二、 型,Slide 3 (of 65),解法： 逐次积分,特点： 右端仅含有自变量x,一、 型,n次即可得到含n个任意常数的通解,Slide 4 (of 65),解： 逐次积分,例1 求 的通解,Slide 5 (of 65),解法： 通过代换 将方程降阶为一阶ODE,特点： 右端不显含 y,二、 型,积分便可得原方程的通解为,设通解为,则,Slide 6 (of 65),解 (1) 令,例2 求下列方程的通解,则,解得,则,(2) 令,则,解得,则,Slide 7 (of 65),解法： 通过代换 将方程降阶为关于中间变量 y 的一阶ODE,特点： 右端不显含 x,三、 型,分离变量后再积分便可得原方程的通解为,则原方程化为,设通解为,Slide 8 (of 65),例3 求下列方程的通解,Slide 9 (of 65),练 习 题,Slide 10 (of 65),练习题答案,Slide 11 (of 65),5.3 二阶ODE,5.3.1 可降阶的二阶ODE,5.3.2 二阶线性ODE解的结构,5.3.3 二阶常系数线性齐次ODE,5.3.3 二阶常系数线性非齐次ODE,Slide 12 (of 65),二阶线性微分方程,二阶齐次线性微分方程,二阶非齐次线性微分方程,定义：一个n阶ODE，如果其中的未知函数及其各阶导数都是一次(线性)的，则称为n阶线性微分方程,5.3.2 二阶线性ODE解的结构,Slide 13 (of 65),物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,RLC串联电路的振荡方程,一、概念的引入,Slide 14 (of 65),二、二阶线性ODE解的结构,1.二阶齐次ODE解的结构:,问题:,（解的叠加性）,Slide 15 (of 65),例如,线性无关,线性相关,Slide 16 (of 65),特别地:,例如,Slide 17 (of 65),2.二阶非齐次线性ODE解的结构:,Slide 18 (of 65),解的叠加原理,Slide 19 (of 65), 三、降阶法与常数变易法,1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有,Slide 20 (of 65),解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,Slide 21 (of 65),2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),Slide 22 (of 65),(5),(4),(5)联立方程组,Slide 23 (of 65),积分可得,非齐次方程通解为,Slide 24 (of 65),解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例,Slide 25 (of 65),设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,Slide 26 (of 65),四、小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；, 降阶法与常数变易法；, 补充内容,可观察出一个特解,作业5.3： 1偶,遗留问题,没有求齐次线性ODE特解的通用方法。,Slide 27 (of 65),练 习 题,Slide 28 (of 65),Slide 29 (of 65),练习题答案,Slide 30 (of 65),5.3 二阶ODE,5.3.1 可降阶的二阶ODE,5.3.2 二阶线性ODE解的结构,5.3.3 二阶常系数线性齐次ODE,5.3.3 二阶常系数线性非齐次ODE,Slide 31 (of 65),一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,5.3.3 二阶常系数线性齐次ODE,Slide 32 (of 65),二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,Slide 33 (of 65),(1) 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,Slide 34 (of 65),(2) 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,Slide 35 (of 65),(3) 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,Slide 36 (of 65),定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,(1) 写出特征方程,(3) 根据特征根的不同情况写出通解的相应形式,(2)求出特征方程的两个特征根,用特征方程法求解 的一般步骤:,Slide 37 (of 65),解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,Slide 38 (of 65),解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,Slide 39 (of 65),例4 求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使,都是它的解 。,Slide 40 (of 65),三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,Slide 41 (of 65),注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,Slide 42 (of 65),特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例3,Slide 43 (of 65),四、小结,二阶常系数齐次ODE求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程: （2）求出特征根r1,r2; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,Slide 44 (of 65),思考,令,则,特征根,通解,求微分方程 的通解.,Slide 45 (of 65),练 习 题,Slide 46 (of 65),练习题答案,Slide 47 (of 65),5.3.4 二阶常系数非齐次线性方程,1. 型,Slide 48 (of 65),二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,一、 型,优点：不用求积分.,Slide 49 (of 65),设非齐方程特解为,代入原方程,Slide 50 (of 65),综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,Slide 51 (of 65),特别地,Slide 52 (of 65),解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,Slide 53 (of 65),思路: 利用欧拉公式将三角函数转化为两项含指数函数之和，再利用 的特解求法及解得叠加性,共轭多项式,Slide 54 (of 65),注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,Slide 55 (of 65),对于方程,特解形如,将特解代入方程(1)，比较两边系数即可求得。,Slide 56 (of 65),例2,例3,原方程通解为,Slide 57 (of 65),解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例4,Slide 58 (of 65),三、小结,(待定系数法),Slide 59 (of 65),设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,思考 写出微分方程,的待定特解的形式.,Slide 60 (of 65),2009年考研大纲 数学二,五、常微分方程 考试内容： 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用,Slide 61 (of 65),考试要求: 1了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法,会解齐次微分方程 3会用降阶法解下列形式的微分方程： 和 4理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理 5掌握二阶常系数齐次线