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第四章 微分中值定理与导数的应用,中大南方学院,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,证毕,第一节 微分中值定理,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证:,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 则,因此,若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:满足 至少有一个。,则由费马引理得,二、拉格朗日中值定理,观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等,问题： 直线AB的斜率k=? f (x)?,提示：,直线AB的斜率,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,则至少存在一点,使,证,分析:条件与罗尔定理,弦AB方程为,相差f(a)=f(b),所得曲线在a，b两端点函数值相等。,几何解释：在曲线弧AB上 至少有一点C，在该点处的 切线平行于弦,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,则至少存在一点,则函数j(x)在区间a b上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)0 即,证明,由此得 f(b)f(a)f (x)(ba),拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,令,则,三、柯西(Cauchy)中值定理,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,则至少存在一点,使,满足 :,几何意义,定义,例如,第二节 洛必达法则,定理1,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,证,定义辅助函数,则有,注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);,2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用
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