微分方程第二节一阶微分方程.ppt

- 1 -,第二节 一阶微分方程,可分离变量方程 齐次方程 一阶线性方程 全微分方程,- 2 -,一阶微分方程的一般形式,也可表示为,一阶微分方程初始值问题,- 3 -,一 可变量分离方程,转化,解分离变量方程,可分离变量方程 一般形式,或,- 4 -,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当,= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,- 5 -,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),- 6 -,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,- 7 -,例3 求解微分方程,解:,分离变量得,两边积分得,- 8 -,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意, 有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,- 9 -,例5.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,- 10 -,二 齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,1 齐次方程,- 11 -,例6 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解),( C 为任意常数 ),- 12 -,例7. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,- 13 -,( h, k 为待,2 可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令, 解出 h , k,(齐次方程),定常数),- 14 -,求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注: 上述方法可适用于下述更一般的方程,- 15 -,例8. 求解,解:,令,得,再令 YX u , 得,令,积分得,即,- 16 -,得 C = 1 ,故所求特解为,代回,代回,- 17 -,例9 求解,解:,令,代入方程得,分离变量:,积分得,代回原变量, 得原方程的通解:,- 18 -,例10. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,- 19 -,解,分离变量法得,所求通解为,- 20 -,三 一阶线性微分方程,1 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,称为齐次方程 ;,1). 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,- 21 -,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,- 22 -,解法一,常数变易法,对应的齐次方程为,分离变量得,两边积分,- 23 -,解法二,公式法,方程为,- 24 -,例12 求解微分方程,解,方程化为,不易求解,即,这是关于未知函数,的线性方程。,方法一,常数变易法，,相应的齐次方程为,即,令,则,代入方程得,即,- 25 -,原方程的通解为,方法二,公式法,原方程为,这里,- 26 -,例134 有连接A(0,1)、B(1,0)两点的一条凸曲线，它,位于AB的上方，P(x,y)为该凸曲线上的任意一点,已知,该曲线弧与AP之间的面积为x3，求该曲线的方程,解,设所求曲线方程为,根据题意得,两端对x求导得,即,- 27 -,这是一阶线性微分方程，利用公式得通解.,- 28 -,2 伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),- 29 -,解,例14,- 30 -,四 全微分方程,1 全微分方程,若一个一阶微分方程,的左,端恰好是某个函数,全微分，,即,则称这个微分方程为全微分方程（又称其为恰当方程）,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,- 31 -,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .,- 32 -,例15 求解,解1: 因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,- 33 -,例16 求解,解法2,凑微分法,因此方程的通解为,- 34 -,例17. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,- 35 -,或取,则有,故原方程的通解为,- 36 -,2 积分因子法,思考: 如何解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成例17 的方程 .,使,为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,若存在连续可微函数,积分因子.,- 37 -,例18 求解,解: 分项组合得,即,选择积分因子,同乘方程两边 , 得,即,因此通解