微分中值定理与导数应用.ppt

微分中值定理与导数应用,微分中值定理,则至少存在一点,一、罗尔定理,（iii）f (a)= f (b).,设函数 f (x)满足：,证:,f (x)在a, b上必取得最大值M和最小值m .,则f (x)在a, b上恒为常数，,因此 f (x) 0，,定理1（罗尔定理）,（i）在闭区间a, b上连续；,（ii）在开区间(a, b)内可导；,所以对于任一点 (a, b)，,微分学的理论基础,导数与应用的桥梁,Rolle,16521719,(1) 若M = m，,使,由(i )知:,都有f () = 0；,否则 f (x)必恒为常数。,则 M 和 m 之中至少有一个不等于 f (a)，,设在点(a, b)处，,函数f (x)取得最大值f () = M，,都有f (x) f ()，,即f ( x) f ( ) 0.,由条件(ii)，f (x)在点可导，,于是，当x 0时，,从而，,(2) 若M m，,不妨设M f (a)，,即最大值M不是端点处的函数值。,则对一切x(a, b)，,同理, 当x0时,有,因导数存在,所以,一条连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.,若定理条件不满足，则结论不一定成立.,罗尔定理的几何解释:,则在曲线上至少有一点C,在该点处切线水平.,区间内有不可导的点,两端点的函数值不相等,区间内有不连续的点,并指出它们所在的区间。,分别在区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内。,证：,显然, f (x)分别在闭区间1, 1, 1, 2, 2, 3上连续，,例1 设函数f (x) = (x +1) (x1) (x2) (x3)，,证明方程f (x)=0有三个实根，,且 f (1) = f (1) = f (2) = f (3),. 由罗尔定理，,在(1, 1), (1, 2), (2, 3)内分别存在点1 , 2, 3 ，,使得 f (1) = f ( 2) = f ( 3) = 0,即方程f (x) = 0有三个实根，,在开区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内可导，,二、拉格朗日定理,（分析）要证,即,只需证：,以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明.,定理2 (拉格朗日定理),设函数f (x)满足：,（i）在闭区间a, b上连续；,Lagrange, 17361813,则至少存在一点(a, b)，使,（ii）在开区间(a, b)内可导，,令,则 F(x) 满足罗尔定理中的条件(i)(ii)，,由罗尔定理知，至少存在一点,使得,即,证明,且,拉格朗日中值公式,或,公式可写成下列形式:,若令f (a) = f (b)，,则结论成为f () = 0。,拉格朗日定理的几何解释,连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.,则在曲线上至少有一点C,在 该点处切线平行于弦AB.,注:,或,有限增量公式,可见, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。,比较,罗尔定理与拉格朗日定理一样只肯定了 存在性但并没有给出求 的方法.,但通过中值定理定理，不用求出 我们也可得到一些有意义的结论，如推论,推论1 设函数f (x)在区间I上可导，且f (x) 0，,则f (x)在I上为常数。,证 在I内任取两点x1和x2，,在(x1 ,x2)内可导，,由拉格朗日定理知，,不妨设x1 x2.,至少存在(x1 ,x2)，使得,显然，f (x)在x1, x2上连续,于是f (x)在I 内是一个常数。,推论2 设在区间I上，,例3 证明：,由条件知f () = 0，,从而 f (x2) = f (x1) .,而x1, x2为I 内任意两点，,且,所以，,例4 试证明下列不等式,(1)设,则f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，,由拉格朗日定理得,由于,故,在(0, x)（或 (x, 0) ）内可导.,证,即,( 介于0与x之间).,则 f (t)在0, x（或x, 0）上连续，,(2)令f (t) = e t ,定理3（柯西定理）,（i）在a, b上连续；,注：柯西定理是拉格朗日定理的推广。,因为g(x)=x时,柯西定理的结论恰是拉格朗日定理的结论.,于是，,则至少存在一点 (a, b)，使,（ii）在(a, b)内可导，且g (x) 0 ，,三、柯西定理,Cauchy, 17891857,设f (x)及g (x)满足:,函数的增减性与极值,由函数单调性的定义知：,单调增加,即当,当,单调减少,一、函数的增减性判别法,，曲线上升,，曲线下降,证 仅证（i），,定理1 设函数f (x)在闭区间a, b上连续，,（i）如果在(a, b)内f (x) 0，,（ii）如果在(a, b)内f (x) 0，,则f (x)在a, b上单调增加；,则f (x)在a, b上单调减少。,（ii）的证明类似。,由拉格朗日定理, 得,即f (x1) f (x2)，,例1 讨论函数,的单调性。,在a, b上任取两点x1, x2，,由于f ()0，,因此f (x)在a, b上单调增加。,于是f (x2) f (x1)0，,不妨设x1 x2 。,例2 讨论函数,的单调性。,导数为零的点和不可导的点都有可能,成为函数单调区间的分界点。,由上可知，,注：若f (x)在某区间内的孤立点处为零（或不存在），,而在其余各点均为正（或均为负），则f (x)在该区间内,仍旧是单调增加（或单调减少）的。,例4 确定,的单调区间。,例5 证明 当x 0时，,则f (x)在0, +)上连续，在(0, +)内,因为仅在孤立点x = 2n（n为正整数）处,令,证:,f (x) = 0，,故f (x)在0, +)上单调增加。,f (x) f (0) = 0，,极大值与极小值统称为极值。,设函数f (x)在点x0的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于x0的点x ,二、函数的极值,称x0为f (x)的极大（小）值点；,或（f (x) f (x0)），,则称f (x0)为f (x)的极大值(或极小值）,如果恒有f (x) f (x0)，,于是x sinx .,即xsinx 0，,从而当x 0时，,定义,函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在a，b上函数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。,但驻点和导数不存在的点不一定是极值点。,但f (x)在点x = 0不取得极值。,通常称为函数f (x)的驻点,因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点。,例如，对函数y = x 3, y = 3x 2,x = 0是驻点,使导数f (x)等于零的点x0,从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点，,不存在的点。,可以证明：若函数f(x)在x 0 处可导，且在x 0 处取得极值，则这个函数在x 0 处的导数为零。即,因此极值点只能是 和,不存在的点。,(iii) 若在x0的两侧，f (x)不变号，,定理2（极值第一判别法）,设f (x)在x0的某邻域内连续，,在该邻域（x0可除外）可导，,x0为f (x)的驻点或使f (x),(i) 若当x 0；,则 f (x0) 是f (x)的极大值；,(ii) 若当x x0 时，f (x) 0；,则 f (x0) 是f (x)的极小值；,则f (x0)不是极值。,当x x0 时，f (x) 0，,当x x0 时，f (x) 0，,例6 求,的极值点与极值。,解,用 x =0, x = ，分割定义域成几个小区间,定义域（-，+）,列表讨论如下:,极大值点:,极大值:,极小值点:,极小值:,且f (x0) = 0，f (x0) 0，则,（ii）当f (x0) 0时，f (x0)是f (x)的极小值。,例8,的极值.,定理3（极值第二判别法）,设函数f (x)在点x0处具有二阶导数，,（i）当f (x0) 0时，f (x0)是f (x)的极大值；,由极值第二判别法, x=1时,f (x)有极小值: f (1)=4.,由于,所以,需用极值第一判别法判定:,无极值.,例9 讨论,解：,令,得驻点,极值（n为自然数）,（1） 若 为偶数，则 在 两侧不变号，,所以 不是极值点。,当 时，,（2）若 为奇数，则当 时，,所以 时，函数取得极大值,极值第二判别法可以推广到下面的一般形式：,定理4 设函数 在 处有 阶导数，且,则（1）当 为偶数时：,若 ， 则 是 的极大值；,若 ， 则 是 的极小值。,利用带有皮亚诺余项的泰劳公式可以证明此定理,三、最大值、最小值问题,（2）计算区间端点处的函数值；,例8 求函数,上的最大值与最小值。,在区间,求连续函数f (x)在a, b上的最大值与最小值：,（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；,（3）对以上两类函数值进行比较即得。,令,函数的不可导点为x = 0, 1 .,解,得驻点,函数f (x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：,比较之，得最大值：,最小值：,注1：一般地说，若函数f (x)的最大(小)值是在区间(a, b),内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值，,注2：在实际问题中，往往根据问题的性质，就可 断定,此时，如果确定f (x)在这个区间内部只有一个驻点x0 （或导数不存在的点），,可导函数f (x)在其区间内部确有最大值（或最小值），,那么，这个点就是函数的最值点,问底面半径如何选取，,S=2r2 +2rh,解 设罐头的底面半径为r，,由题设 r2h=V，即,代入上式得，,才能使用料最省（即表面积最小）？,令,得唯一驻点,因此S(r)的最小值必在r=r0处取得。此时,即当罐头的高与底面直径相等时，用料最省。,例10 甲船位于乙船以东的75海里处，,以每小时12海里的速度向西行驶，,乙船以每小时6海里的速度向北行驶，,问经过几小时两船相距最近？,解 在时刻t 时，两船相距,求S (t) 的最小值，,令,两船相距最近。,t = 5为(0, +)内的唯一驻点。所以，经过5小时，,也就是求S 2 (t)的最小值，如图,函数的作图,利用初等描点作图可以绘出函数的大体形状，,一般来说，描点越多，作出的图形越准确，但也存在缺陷。,1) 选点带有一定的盲目性,往往漏掉某些关键点. .,下面我们借助微分学的知识,来深入研究函数整体形态,一. 曲线的凹凸性与拐点,但仅是这些还不能比较准确的描绘出函数的研究图形。,2) 选点少了,不能准确的确定函数的弯曲方向, 选多了,计算较复杂,从而比较准确作出函数图形.,函数的单调性与极值,对于了解函数的图形,是有很大的帮助,例如 在a，b上虽然都是单调增加， 但图形却有显著不同。,是上凹的曲线弧,是下凹的曲线弧,则称该曲线段是凸弧（或向上凸的），如图,凹：,凸：,给出判定曲线凹凸性的判别法。,定义1 设曲线y=f (x) 上各点处都有不垂直于x轴的切线，,若这段曲线总位于曲线上每一点切线的上方，,则称该曲线段是凹弧（或向上凹的）；,若这段曲线总位于曲线上每一点切线的下方，,下面借助于二阶导函数的符号，,设函数在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数。,此时称区间a, b为曲线的凸区间。,解,当x 0时，y 0, 所以曲线在(, 0上是凸弧；,定理1（凹凸性判别法）,则曲线y=f (x)在a, b上是凹弧，,此时称区间a, b为曲线的凹区间；,则曲线y=f (x)在a, b上是凸弧，,当x 0时，y 0, 所以曲线在0, +)上是凹弧。,（ii）如果在(a, b)内f (x) 0，,（i）如果在(a, b)内f (x) 0，,于是，曲线的凹区间为 (, 0，凸区间为0, + ) 。,定义2,注意：拐点是曲线上的点,当x 0, 所以曲线在(, 0上是凹弧；,当x 0时，y 0, 所以曲线在0, + )上是凸弧。,解,连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。,符号相同，则点(x0 , f (x0)不是拐点。,例1中，点（0，0）是曲线y = x3上凹弧与凸弧的分界点，,因此是曲线的拐点，在该点处，y=0；,例2中，（0，0）点是曲线的拐点，在该点处y不存在。,因此，曲线y = f (x)的拐点的横坐标只能是使f (x) = 0的,点或f (x)不存在的点。,求连续曲线的拐点的方法如下：,（i）求出所有使函数f (x) 的二阶导数f (x) = 0的点,和f (x)不存 在的点；,（ii）对于（i）中所求出x0，若f (x)在x0两侧符号相反，,则点(x0 , f (x0)是曲线的拐点；若f (x)在x0的两侧,解 函数的定义域为（ ）。,令y = 0，得,当x = 0时，y 不存在。列表讨论如下：,拐点为,二、渐近线,为曲线的渐近线。,渐近线有以下三种：,则称直线 y =A为曲线,水平的渐近线。,（ii）垂直渐近线,则称直线x = x0为曲线,（iii）斜渐近线：,斜渐近线,若曲线上一动点M无限远离原点时，,某一固定直线L的距离趋近于零，,（i）水平渐近线：,或,如果,称该渐近线为曲线y = f (x)的斜渐近线。,a 0 时，,设直线Y = ax +b是曲线y = f (x)的渐近线。,y = f (x)的垂直渐近线。,则称该直线L,定义3,动点M到,解 由于,所以x=0,x =2是曲线的两条垂直渐近线。,于是，y = x 1是曲线的斜渐近线,又,(2) 确定函数的连续区间及间断点；,三、函数作图,函数作图的一般步骤：,(1) 确定函数f (x)的初等性质：定义域、奇偶性、周期性等；,必要时，可根据函数表达式补充一些点。,(3) 求出f (x)，讨论曲线的增减性与极值；,(4)求出f (x)，讨论曲线的凹凸性与拐点；,(5) 考察曲线的渐近线；,(6) 确定曲线的某些特殊点,（比如，曲线与坐标轴的交点等）.,(7) 绘出函数图形。,在此区间上函数连续且为偶函数，图形关于y轴对称。,(3) 列表讨论（由对称性，仅讨论x0, +）的情形）：,解 （1）函数的定义域为（ ），,（2）,（4） 因为,，所以y=0是水平渐近线。,正态分布曲 线或高斯曲线。,（5）作图,由以上讨论可作出曲 线在0，+）内的图形，,再由对称性可得全图. 该曲线在概率论中也称为,是拐点,例6 绘 的图形,解： 定义域,令,令,垂直渐近线,水平渐近线,例 作函数 的图形,解：定义域,令,当,不存在,渐近线,垂直渐近线,无水平渐近线,斜渐近线,第四节 未定式的极限,如果在同一极限过程中,两个函数 , 都是无 穷小量或都是无穷大量,那么 可能存在也 可能不存在.通常称这种类型的极限为未定式的极限.,一. 未定式 型的极限,定义,且满足,10,定理 设函数 和 在点 的某一去心邻域内有,在 的某一去心邻域内存在,且,和,则有,可以补充或改变 及 在,处的函数值,使f(x0)=g(x0)=0,的极限 与 及 在,设x 为x0 的邻域内异于x0 的任一点,利用柯西定理,在以x0 为端点构成的闭区间上,处的函数值无关,所以,证明 由于当 时,则f(x)和 g(x) 就在点x0处连续,( 介于 与 之间),则得,对上式取极限并注意到当 时,得,令 ,例1,例2,例3,洛比达法则可以连续使用,例5,例4,例6,二 未定式 型的极限,定义,且满足,10,20 和 在 的某一去心邻域内存在,且,30 存在(或为 ),则有,对于 时的未定式 同样适用,定理 设函数 和 在点 的某一去心邻域内有,例8,例9,例10,当 x 充分大时，有,例11,注意 ：,1）认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。,事实上,2）解题过程中注意及时化简函数式,如约去零因子，提出能确定极限值非零的部分，且注意与其它求极限的方法结合起来。,3）洛比达法则的条件是充分条件，而不是必要条件,即当 不存在时，不能断定 不存在,例,不存在,但,再如 用洛比达法则不存在,事实上,4）反复应用洛比达法则，若出现循环，要停止使用。,例,三. 其它未定式的极限,10,20,30,例1,例2,例3,例4,令,例,例,而,5 泰勒定理,一、泰勒（B.Taylor, 16851731,英国数学家）定理,微分部分：,，误差较大，精确度不高。,猜想：,定理1（泰勒定理）设函数f (x)在含有点x0的某个开区间(a, b) 内具有直到(n+1)阶的导数，则当x(a, b)时，有,其中,这里 是介于x0与x之间的一个实数。,（1）,（2）,称公式（1）为f (x)按(xx0)的幂展开到n阶的泰勒公式，也称 为f (x)在点x0展开的n阶泰勒展开式或泰勒公式。,其中Rn(x)称为泰勒公式的余项，公式（2）所表示的余项称为 拉格朗日余项。,多项式,称为f (x)在x0点的n次泰勒多项式。,注1：在泰勒公式（1）中，若取n=0，则公式变为拉格朗日公式， 即,因此，泰勒定理是拉格朗日定理的推广。,注2：用泰勒多项式近似表示函数f (x)时，产生的误差为 |Rn (x)|。 如果对于某个固定的n，有| f (n+1) (x)| M（M为正常数），则 有估计式,定理5 设函数在点x 0处有直到n阶的导数，则有,其中,（3）,（4）,公式（3）称为具有皮亚诺（G.Peano,18581932，意大利数 学家、逻辑学家）型余项的n阶泰勒公式，也称为f (x)在x0处的 n阶局部泰勒公式，（4）式表示的余项称为皮亚诺余项。,二、麦克劳林(C.Maclaurin,16981746,苏格兰数学家)展开式,在泰勒公式（1）及（3）中，若令x0 = 0，则得,（5）,其中,（6）,介于0与x之间，,或,（7）,公式（5）称为f (x)的n阶麦克劳林展开式或n阶麦克劳林公式。 公式（5）中，R n (x)若用（6）式表示，则称（5）为具有拉格朗 日型余项的麦克劳林公式；R n (x)若用（7）式表示，则称（5） 为具有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，或称为局部麦克劳林公式。,由（5）式得近似公