数列的极限、性质及运算.ppt

有许多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来 的，而必须通过考察一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生 了极限的理论和方法。 例如，设有一圆，首先作内接正6边形，把它的面积记为A1；再作内接正 12边形，其面积记为A2 ；在做正24边形，把它的面积记为A3；循环下去 ，每次边数加倍，一般地把内接正62n-1边形的面积记为An（n=1,2,3,） 这样就得到一系列内接正多边形的面积： A1， A2， A3，An， 它们构成一列有次序的数。 N越大，内接正多边形与圆的差别就越小,从而以An作为圆的面积的近似值也越精确。但无论n取多么大， An终究只是多边形的面积，而不是圆的面积。设想n无限增大，即内切正多边形的边数无限增加，在这个过程中，从图形上看，内接正多边形将无限接近于圆；因此从数值上看，内接正多边形的面积An将将无限接近于一个确定的值，这个数值就是所要求的圆的面积。 在数学上，将这个确定的数值称为上面这列有次序的数（称作数列） A1， A2， A3，An，的极限。可以看到，正是这个数列的极限精确地 表达了圆的面积。,设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1, x2,xn, , 称为一个数列. xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f (xn),第一节 数列的极限,一、数列的极限,例.,看数列1.,从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?,注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则a, b越接近.因此, 要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接近于1”就只须说明“ 当n越来越大时, | xn1 |会越来越接近于0”.而要说明“| xn1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n充分大时,| xn1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数, 当n充分大时, | xn1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1| 会越来越接近于0.,事实上, 给, 很小, 只须n1000 即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有,要,也即在这个,又给, 则从第10001项开始,以后各项都有,一般, 任给 0, 不论多么小,只须,. 因此, 从第,项开始, 以后各项都有,. 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.,要使,定义: 设xn是一个数列, a是一个常数,若 0, 正整数N, 使得当nN时, 都有|xna|,则称a是数列xn当n无限增大时的极限, 或称xn收敛于a,记作,这时, 也称xn的极限存在, 否则, 称xn的极限不存在, 或称xn是发散的.,定义中的“当n无限增大时，xn无限接近于某个确定的常数a”的意思是：当n无限增大的过程中， xn与常数a的距离 | xna |可以任意小，要它有多小就有多小。 以数列xn= 为例，如果要| xn0 |= 小于 ，那么只要n100,即从第101项其，以后的一切项均能满足这个要求；如果要| xn0 |1000，即从第1001项起，以后的一切项均能满足这个要求；一般地，如果要| xn0 |10k，即从第10k+1项起，以后的一切项均能满足这个要求。这就是“当n无限增大时，无限接近于常数0”的含义。,比如, 对于刚才的数列1. 有,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,例1. 若xn=c (常数), 则,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,证:, 0. 由于|xn1|=|c c|= 0,取N=1, 当nN时, 有|xnc |=0,故,即常数的极限就是常数本身.,例2. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,反设xn收敛, 但极限不唯一,设ba, 取,即, xna, 且xn b, (n), ab.,第二节 数列极限的性质及收敛准则,一、数列极限性质,定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一.,由极限定义, 1, 当nN1时,N2, 当nN2时,取N=maxN1, N2, 则当nN时, 上两式同时成立.,从而当 nN时, 有,矛盾, 故极限唯一.,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,几何意义:,数列的有界性.,定义: 设有数列xn=f (n), 若M0, 使得|xn|M, n=1, 2, . 则称数列xn有界,否则, 称xn无界.,由于 |xn|MMxnM xnM, M.,故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间M, M内.,看图,例1. xn=(1)n有界, 而xn=n2无界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x1,x2,x3,0,x2n,x2n-1,设xna (n),则对n=1, 2, ,有|xn|M,证:,由定义, 对=1, 存在自然数N,当nN时, 有|xna|1,故 |xn|xna|+|a|1+|a|. 取M=max|x1|, |x2|, |xN|, 1+|a|,M,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,定理2. 若xn收敛, 则xn有界.,定理2的逆命题不成立, 即：有界数列未必收敛。 如xn=(1)n有界, 但由定义和几何意义知(1)n是发散的.,看图,定理3.,推论2.,推论3: 设有数列xn, 若正整数N, 当nN时,夹逼准则.,xn yn zn,证:, 0 , N1, 当n N1时, 有 |xn a| .,(1),即 a xn a + (2),.设数列xn, yn, zn满足正整数N, 当 n N 时, 有,N2, 当n N2时, 有 a zn a + (3),取 N * = maxN, N1, N2,则当n N * 时, (1), (2),(3)同时成立.,有,a xn yn zn a + ,即 | yn a | .,特别, 若在夹逼定理中, xn 和 zn 中有一个为常数列, 并满足定理条件. 定理当然成立.,即,若 a yn zn ,夹逼定理的意义有: (1) 给出判断数列 yn 存在极限的方法;,(2) 给出了求 yn 的极限的方法.,这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.,例2. 求,解：用夹逼定理求解，,记,适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式,考虑将 xn,由于,所以,若数列xn满足 x1x2xn, 则称xn为单调递增数列.,若x1x2xn, 则称xn为单调递减数列.,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.,收敛准则,例3. x n=n2是单调递增数列, 但x n是发散的.,xn=(1)n是有界数列, 但xn=(1)n也是发散的.,定理4. 单调递增且有上界的数列必有极限;,单调递减且有下界的数列必有极限.,即, 单调有界数列必有极限.,例4.数列,是单调递增且有上界的数列.,证: 首先注意到, 当ab0时,有,移项, 有,即,(1) 取,有,即,(2) 取,有,即,(e=2.71828, 为一无理数),定义1.,或, 0, N 0, 当 n N 时, 有 | xn | . 则称 为无穷小量(无穷小数列).,第三节 数列极限运算,一、无穷小量,(1) 无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0, 则不是无穷小量.,所以, 除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.,(3) 常数列 xn = 0 是无穷小量.,注:,定理1. (极限与无穷小的关系定理),证: “, 0, N 0, 当 n N 时, 有 | xna | .,即 | n | .,故 xn= a + n , 其中n 0 (n+时).,则 0, N 0, 当 n N 时, 有 |n | .,即 | xna | .,“ 若 xn= a + n , 其中n 0 (n+时).,故,性质1. 有限多个无穷小量的代数和为无穷小量.,性质2. 有限多个无穷小量的乘积仍是无穷小量.,则 xn yn 是无穷小量 . 即 有界量乘无穷小量仍为无穷小量.,推论. 常量乘无穷小量仍为无穷小量.,性质3. 若 xn 是无穷小量, | yn | M(当 n N 时),性质4. 若 xn 是无穷小量, yn a (0),则,1. 两个无穷小量的商不一定是无穷小量.,2. 性质1, 2中的条件“有限多个“不能丢.,注:,例1.,解:,例2.,解:,故 原式 = 0.,看数列 xn = n2, 即， 1, 22, 32, , n2, .,当 n 越来越大时, 数列 xn 的值也越来越大, 要多么大就有多么大, 可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).,二、无穷大量,定义2. 若 G 0(无论多么大), N 0, 当 n N,时, 有 | xn | G ,则称 xn 为无穷大量, 记作,(1),(2) 任何常数列(常量)都不是无穷大量.,注:,即, 当n N 时, xn 都落在区间 G, G外面.,在 G, G内, 只有 xn 的有限多个项.,例3. 设 | q | 1.,证: G 0, (要证N 0, 当 n N 时, 有 | qn | G ),要使 | qn | = | q |n G.,只须,则当 n N 时, 有 | qn | G,故,例4. 数列 xn = (1+(1)n)n 是否为无穷大量?,解: 数列 xn 为,0, 22, 0, 24, 0, 26, .,如图,所以 xn 不是无穷大量.,定义3.,从几何上看,xn .,xn +.,证: 设 xn 为无穷大量, 要证 为无穷小量., 0,因 xn 为无穷大量.,从而,定理2. 若 xn 是为无穷大量, 则 为无穷小量.,若 xn 是为无穷小量(xn 0), 则 为无穷大量.,(1) 两个无穷大量的和, 差, 两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.,比如, 当n +时, n2 , n2 ,但,n2 + (n2) = 0,都不是无穷大量.,但, +(+) = +,+() = .,注:,(2) 有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.,无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量),特别,比如, 当xn = n2 ,yn = 0,则 xnyn = 0 不是无穷大量.,(3) 若数列 xn , 则 xn 无界,但反之不对.,如, 当xn = (2+(1)n)n . 无界, 但不是无穷大量.,(4) = , (有界量) = .,无穷大量,无穷小量,定理3. 设数列 xn和 yn 的极限都存在. 且,则,(1),(2),(3) 设 C 为常数，有,(4) 当 b0 时，有,三、数列极限的运算法则,证：只证(1).,因,由极限与无穷小关系，,有，,xn=a+n, yn=b+n，其中n, n0(n+).,从而 xn yn =(a b)+(n n ),由无穷小量性质知n n0(n+),再由极限与无穷小的关系定理，知,定理4. 若,证：由于,注意到不等式 | | A | | B | | | A B |,从而 | | xn | | a | | | xn a | ,故,反之不对.,比如, 设 xn = (1)n.,例5. 求,解:,一般, 称形为 f (x) = a0xk+a1xk1+ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式. 其中k为非负整数，ai为常数, a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).,对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时), 可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.,由于分母的极限等于5(0), 分子的极限等于3，,= 0，,= .,故,一般，若 a0, b0 都非0，则,，,0，,k L,k L,例6. 求,解：有理化.,= 50.,例7. 求,解：注意到求和公式,= 2.,例8. 求,解：注意到,从而,所以，原式=,例9. 求,解：注意到,从而，,故,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,3. 极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0, 则不是无穷小量.,所以, 除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.,(3) 常数列 xn = 0 是无穷小量.,无穷小量定义与性质：,(2) 有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.,无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量),特别,(3) 若数列 xn , 则 xn 无界,但反之不对.,(4) = , (有界量) = .,(1) 两个无穷大量的和, 差, 两