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文档简介

,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,极限运算法则,当,一、无穷小运算法则 1、 无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时的无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),无穷小的重要性质,有界量与无穷小量的乘积是无穷小； 有限多个无穷小量的和是无穷小； 常数与无穷小量的乘积是无穷小； 有限多个无穷小量的乘积也是无穷小。,2、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、极限的四则运算法则,则有,定理3 . 若,B0时，,说明: 定理 可推广到有限个函数加减与乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),且,定理4 .若,定理5 . 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 直接得出结论 .,极限的四则运算,基本运算见教材P45：例1，例2,设 n 次多项式,试证,设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,若,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,一般有如下结果：,为非负常数 ),( 如 P47 例5 ),( 如 P47 例6 ),( 如 P47 例7 ),三、 复合函数的极限运算法则,说明：在定理6的条件下，求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序。,定理6,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小无穷大运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 要求分母
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