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文档简介

1.11 无穷小量、无穷大量,一、无穷小量,注意,无穷小是变量,不能与很小的数混淆。,注：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量.,例：,是该极限过程中的无穷小量. A为常数.,定理1,证:,当,时,有,二、无穷小量的运算定理,1.有限个无穷小量的代数和为无穷小量.,注： “有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量.,例如,2.,有界量与无穷小量之积为无穷小量.,例如,3.有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量。,二、无穷大量,注意,1.无穷大量也有正无穷大量和负无穷大量,例如,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.,x,x,y,y,x1+,x1,例1：,例2: 试从函数图形判断下列极限.,解： (1),x,y,y = tgx,x,y,思考：无界函数一定是无穷大量吗？,例3：,1. ， 都不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量.,2. 0, (有界量)不一定是无穷大量.,3. 无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量.,三、无穷大量的运算性质,但有 (+)+(+) = +, ()+()= . (有界量) = ， 常量 = ,但有 =, C = (C为非0常量).,定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则,反之, 若f (x)为无穷小量,四、无穷小与无穷大量的关系,无穷小的比较,一、无穷小的比较,例如,观察各极限,不可比.,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,定义:,例1,例2,常用等价无穷小:,注,二、等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,例3,注意,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,例4,三、小结,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,
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