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山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第四节 无穷小量和无穷大量,一、无穷小量,定义 若,时，函数 则称函数,时的无穷小量。,例如：,，函数,时为无穷小,f(x)为,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,，函数,当,时为无穷小。,说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。,无穷小量的性质,性质 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 性质 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 性质 常数乘以无穷小量仍是无穷小量。 性质 有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。,例如 由性质4可得,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,二、无穷大量,定义 若,时，函数 ，则称函数f(x),(或 ),为,(或 ),时的无穷大量。,记作,或,注 无穷大量不是一个很大的数，它描述的是函数的一种 状态，若函数趋于无穷大，则必无界。,。,例如,时无穷大量。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,说明 若 ，则直线 为曲线yf(x)的垂直渐近线。,三、无穷小量与无穷大量的关系,定理 如果当 时，f(x)为无穷大量, 则 为无 穷小量；反之，如果当 时，f(x)为无穷小量，且 为无穷大量。,说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。,例11 求,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,解 因为 的倒数 时是无穷小,所以,四、无穷小量的比较,引例 当,都是无穷小，而,两个无穷小量之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小量趋于0的速度的多样。,定义 设 是同一变化过程中的两个无穷小量，,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,(1) 如果 ，则称 为同阶无穷小量。记作,如果 ， 则称f(x)与g(x)为等价无穷小量，,如果 ，则称f是比g高阶的无穷小量，记作,记作,(4) 如果 ，则称f是比g低阶的无穷小量。,应用数学精品课程电子教案,例如 ，所以 ， 当 时,为同阶无穷小量。,， 所以，当 时,，所以,当,时，,是比x高阶的无穷小；,X是比 低
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