一致连续性及其应用论文.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 一致连续性及其应用 作者：XXX 指导老师：XXX摘 要 函数的一致连续性是数学分析中最重要，且高度抽象的概念之一，在数学分析和相关专业课的后继学习与研究中起着十分重要的作用.一致连续性刻画了函数在区间上的整体性质.准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.本文从函数一致连续性的定义出发，对一致连续性的性质、定理进行讨论，并介绍其应用.关键词 函数 一致连续性 应用1 引言 弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.因此本文对函数一致连续性的概念、性质以及判定条件进行了深入的分析和总结,目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续,使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识.2 一次函数的连续性与一致连续性2.1 定义定义2.1.1 函数在某内有定义，若对 ，使得当时，有.那么，函数在点处连续.定义2.1.2 函数在区间上有定义，若对，只要，就有,则称函数在区间上一致连续.2.2 函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系（1）函数在区间上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系.函数连续性的不仅和有关，而且还和点有关，即对于不同的，一般来说是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在区间连续；而函数的一致连续性的仅与有关，与无关,即对不同的，都是是相同的.这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（2）函数在区间上一致连续，则在上连续.这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（或）固定即可，但这个命题的逆命题：在区间连续的函数在这区间上不一定一致连续，却不一定成立.例2.1 证明函数在内不一致连续（尽管它在内每一点都连续）.证明 取 ，对（充分小且不妨设），取，则虽然有 ,但 .所以函数在内不一致连续.（3）在闭区间上连续的函数在上一致连续.这是著名的G.康托定理。（我们将在函数的一致连续性的判定定理进行介绍.）注 对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面：（1）函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系.（2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对，当时，就有. （3）函数一致连续的否定叙述：设函数在区间上有定义，若，使，总，虽然有， 但是 ,则称函数在区间上非一致连续.总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性.函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质.3 一致连续的性质性质3.1 设与都区在间上一致连续，则在区间上一致连续.证明 由于函数在区间一致连续，所以，当时，有所以.所以一致连续.性质3.2 设与都在区间上一致连续，则在区间上一致连续.性质3.3 若和都是区间上的有界的一致连续函数，则也在上一致连续.证明 由题设，有界，从而存在 ，使.再由 ，都一致连续，则和 ,使，且时有 ,令,则，且时 所以在上一致连续.性质3.4 设与都在区间上一致连续，且区间上有界，且存在，使得对任意的有，则在区间一致连续.证明 由在区间的一致连续性得 有所以 =.由于，所以,即有界，函数在其定义域上一致连续. 再由性质3.3知，在其定义域上一致连续.性质3.5 函数在 上一致连续,又在上一致连续, ，则在上一致连续.证明 由在一致连续，故,使当,且 时，有 同理，在上一致连续,对上述，存在，使当，且 时，有 令 ，则对 ,当 且 时，（1）若，由式有.（2）若，由式也有.（3）若时,则.所以 .从而得证在上一致连续.性质3.6 函数在连续,函数在一致续,且，则在 一致连续.证明 ,故 ,有 .又函数在一致连续,故对上述 ,且 ，有 .综上,且 ，有 ，即在一致连续，再由Cantor定理知在上一致连续，故 在一致连续.性质3.6表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数，则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续，如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数，即此函数存在斜渐近线，则它必一致连续.即是如下推论.推论3.1设函数在连续,且有斜渐近线,即有数与,使,则在一致连续.4.一致连续性的判定定理由于用函数一致连续的定义判定函数是否一致连续，往往比较困难.于是产生了一些以G康托定理为基础的较简单的判别法.定理4.1（Contor定理） 若函数在上连续在上一致连续证明1（有限覆盖定理），因为在点连续，所以， ，使得 ，若，则就有|，也就是说，在任何邻域内，都有.现在考虑，当取遍上一切点时，构成一个开区间集，它覆盖着，由有限覆盖定理，就由从中所取的有限个开区间 所覆盖，现取，对且，必属于中的一个，设即，又，表明，所以有，即在上一致连续这个证明方法是华东师大版数学分析上册中，运用有限覆盖定理理来证明，还可以用闭区间套定理来证明.证明2（闭区间套定理）若上述事实不成立，则至少存在一个，使得区间不能按上述要求分成有限多个小区间.将二等分为 、则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为；再将二等分为 、依同样的方法取定其一，记为；.如此继续下去，就得到一个闭区间套,由闭区间套定理知，存在唯一一点满足 ， 且属于所有这些闭区间，所以，从而在点连续，于是，当时,就有 又由式，于是我们可取充分大的k，使,从而对于上任意点，都有.因此，对于上的任意两点， 由都有 这表明能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间的取法矛盾，从而得证.注 定理4.1对开区间不成立.例如函数在内每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.G.康托定理我们可知，函数在闭区间上一致连续的充要条件是在上连续，所以在闭区间上连续的函数必定一致连续，然而对于有限开区间和无限区间，则结论不一定成立.而破坏函数在区间一致连续性的原因有以下两种情况（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点. （2）对于无限区间，这时函数在无穷远处可能破坏一致连续性.虽然如此，我们对于破坏一致连续性的有限开区间的端点或无穷远点附加一定的限制条件，G.康托定理也可以推广到有限开区间和无限区间.定理4.2 在连续，且与都存在函数在内一致连续.证明 若在内一致连续，则对，当时，有 . 于是当时，有. 根据柯西收敛准则，极限存在.同理，可证极限也存在,从而在连续，与都存在.若在连续，且和都存在，则令 于是有在闭区间上连续，由Contor定理，在上一致连续，从而在内一致连续.根据定理4.2容易得以下推论推论4.1 函数在内一致连续在连续且存在.推论4.2 函数在内一致连续在连续且存在.注 当是无限区间时，条件是充分不必要的.例如，在上一致连续，但是，不存在，从而得出下面定理.定理4.3 在内一致连续的充分条件是在内连续，且都存在.证明 （1） 先证在上一致连续.令，由柯西收敛准则有对使对，有 现将分为两个重叠区间和，因为在上一致连续，从而对上述，使，且时，有 . 对上述，取，则，且，都有 . 所以函数在内一致连续.（2） 同理可证函数在内一致连续.由（1）、（2）可得在内一致连续.注 若将分为和，则当与分别在两个区间时，即使有，却不能马上得出的结论.由定理4.3可得出以下推论：推论4.3 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在.推论4.4 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在.推论4.5 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在.推论4.6 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在.对于一元函数在任意区间上一致连续性，有下定理定理4.4 函数在区间上一致连续，只要，就有. 证明 由在上一致连续知，使得，只要，就有.又，知，对上述存在，有 ， 从而对有 , 即 . 若不然，则必存在，虽然，但是 ,显然 ，但是 .推出矛盾，故在一致连续.注 此定理主要用来判定函数非一致连续.利用定义证明函数在上非一致连续的关键是确定，找出使得，而要做到这一点，对于某些函数而言通常是比较困难的.但是，根据前面判定函数一致连续的充要条件，易得函数在区间上非一致连续的两个比较简单的充分条件（1）连续函数在区间内非一致连续的充分条件是和至少有一个不存在.（2）连续函数在区间非一致连续的充分条件是在区间上存在两个数列，使得，但. 定理4.5 若函数在区间上满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数，使得对都有成立，则在区间上一致连续.证明 因为函数在区间上满足Lipschitz条件，即，有，于是对，取，只要，就有.故函数在区间上一致连续.定理4.5仅仅是函数在区间上一致连续的充分非必要条件.由著名的利普希茨（Lipschitz）条件得到启发，还可得推论4.7 设存在，使对任意，有 成立，且在区间上一致连续，则在区间上一致连续.证明 由在区间上一致连续，则，就有.于是，对上述，只要，就有.故在区间上一致连续.定理4.6 函数在区间上一致连续时有.证明 由函数在上一致连续，则，使得当，且时，有,于是，当时，令，只要，就有 ,从而 .所以 . 由，当时，有，则，使得当时，有,从而有 .所以函数在上一致连续.5一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 判断的一致连续性.解 因为 ，.又在上连续,所以在上一致连续.本题根据推论4.4，在无限区间上连续且在端点极限存在，则在此无限区间上一致连续.例2 证明=在上非一致连续.证明1 有.所以=在上非一致连续.此题根据一致连续性定义证得.证明2取,且,但.所以=在上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理4.4.例3 判断的一致连续性.解 因为不存在,所以在内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理4.2.例4 证明在上一致连续，而在上非一致连续.证明因为且,所以在上一致连续.因为 ,所以=在上非一致连续.此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性.此方法快捷方便，实际应用很广泛.结 束 语从以上四个部分，本文对函数的一致连续性的定义、相关性质和判定定理进行了详细的介绍，同时总结和给出具体应用，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的认识和理解.参考文献1华东师范大学数学系，数学分析（第四版）M ，高等教育出版社，2010.2陈纪修、金路、於崇华，数学分析（第二版）M， 高等教育出版社，2004.3 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法M， 高等教育出版社，2006.4钱吉林，数学分析题解精粹M， 崇文书局，2009.5彭家贵、陈卿，微分几何M， 高等教育出版社，2002.6 欧阳光中、姚允龙、周源，数学分析M，复旦大学大学出版社，2002.7吉米多维奇， 数学分析习题集题解M，山东科学技术出版社,1978.8Tom，Apostol，Mathematical AnalysisM，机械工业出版社，2004Uniform continuity and its applicationAuthor:XXX Supervisor:XXXAbstract : Uniform continuity of functions is one of the most important mathematical analysis, and one of the highly abstract concept. It plays a very important role in the subsequent study and research of mathematical analysis and related professional courses in. Uniform continuity characterizes the nature of the whole function