一阶微分方程积分因子.doc

一阶微分方程积分因子的主要求解方法数学与应用数学02-2: 孙彦杰指导老师: 胡爱莲 副教授 摘 要: 本文针对一阶微分方程的微分形式为非全微分方程时，求其通解的常用方法是：首先求出积分因子，使其变为全微分方程，进而求得其通解。而这种方法最为困难的就是求积分因子，本文给出了一些常用的求解积分因子的方法和技巧。关键词：一阶微分方程；积分因子；全微分方程；通解 一、前 言：一般而言，若方程 (*)是全微分方程。我们可以通过求的原函数，很快地求出方程（*）的通解为。 实际上我们遇到的很多形如方程(*)的方程，未必都是全微分方程。若方程(*)不是全微分方程，此时只需找出合适的积分因子，使方程(*)变为全微分方程，即可求得(*)的通解，这种方法称为积分因子法。积分因子法是分离变量法的一种自然推广，用积分因子法可以统一各种初等积分法。例如： 变量分离方程 （1）取积分因子法 ， ，可将（1）化为全微分方程。 一阶线性微分方程 （2） 取积分因子 ，则（2）可化为全微分方程。 齐次方程 (3) 取积分因子 ， ，则方程(3)可化为全微分方程。一般情况下，我们遇到的方程（*）未必都是全微分方程，只要使方程（*）变为全微分方程，其解就可以求出。一般地，我们有下面的定义。定义：假如存在连续可微函数，使方程 （4）成为全微分方程，我们就把称为方程（*）的积分因子。易于看到，当时， （*）与（4）同解，于是为了求解方程（*），只须求解（4）就可以了，但是如何求得（*）的积分因子呢？下面我们就来进行讨论。 方程（4）是全微分方程的充要条件是 即 移项得： (5) 从而有 ，于是为（*）的积分因子的充要条件是满足方程（5）。而方程（5）是一个偏微分方程，其求解也很困难。因此有必要讨论积分因子的求解方法和技巧。下面我们就来讨论一下常用的积分因子的求解方法与技巧。二 、特殊类型的积分因子的求解方法定理1: 方程（*）存在只与x有关的积分因子的充要条件是： 只与x有关，且此时有。证明： “” 若方程(*)存在只与x有关的积分因子， 则有，这样（5）化为即 (6) （6）的左端只与x有关，它的右端也只与x有关。“” 如果只与x有关，且是方程（6）的解，即 此时满足方程（5），从而是（*）的一个积分因子 。定理2: 方程（*）存在只与y有关的积分因子的充要条件是： 只与y有关，且此时有 定理2的证明与定理1的证明相似，此处省略。例1 求解方程(解： ， ，可知 此方程不是全微分方程。又 ， 只与x有关。 用积分因子乘以原方程两端，则得全微分方程：现取 ， 则通积分为：即 例2 解： .所以这个方程不是全微分当方程.但是 它仅依赖于, 因此有积分因子 以它乘方程，得到 从而可得到隐式通解另外，还有特解.它是在用积分因子乘方程时丢失的解.定理3: 方程（*）分别具有形如 形式的积分因子的充要条件分别为：证明：方程（*）有积分因子的充要条件是 ，令,则有即 满足下列微分方程, （7）（7）式右端应为的函数，这就证明了 为方程（*）的积分因子的充要条件为 则积分因子 （8）当 即 是方程（*）有形式的积分因子的充要条件。当 即 又 ，是方程（*）有形式的积分因子的充要条件。当 即 是方程（*）有形如的积分因子的充要条件。定理4:当为的函数，记，则有 ， 则它的积分因子为定理5: 当为的函数， 记为 ，则有 ，则它的积分因子为例3 解方程解： ， 不是全微分方程 .设想方程有积分因子 ，其中是待定实数，于是 取 得 于是原方程有积分因子从而得其通解为 例4 解方程 解： ， 不是全微分方程由于 由定律3中的（8）式 ，原方程有积分因子 以它乘方程得到即 故原方程的通积分为 三、 分组求积分因子法如果不易直接求得方程的积分因子，在这种情况下，考虑把它的左端分成两组： （9）然后分别求得各组的积分因子 和 ，于是就找到，使得这时可适当选取函数 、 ， 使得 ，就可求得（9）的积分因子为例5 求解方程 解：把方程改写为 前一组有积分因子和通积分，因而它有更一般的积分因子后面一组显见有积分因子 和通积分,因而有更一般的积分因子为了使有关子式 ， 只须取 ，这样可知原方程有积分因子 ，且 积分即得 （c为常数）此外，原方程还有解，它们在用乘方程的两端时丢掉的。四： 观察法对于比较简单的微分方程，凭我们对于微分公式的经验可以观察到它的积分因子。例如：对于微分方程 它有积分因子通积分为 特注：这种方法的关键是把方程的若干项在某个积分因子下合成一个熟知的全微分，再从余下的项中选出部分在同样的积分因子下凑成另一个全微分，直到各项用完为止，这样就可找到所需的积分因子了。但这就要求我们熟记一些二元函数的全微分。例如： 例6 求解方程 解： 经观察可作为上方程的积分因子，因此有即 故原方程的通解为 参考文献：1丁同仁 , 常微分方程基础， 上海科学技术出版社, 1981年8 月, 2叶彦谦 , 常微分方程讲义, 北京人民教育出版社, 1982年10月, 3钱祥征 , 常微分方程解题方法, 湖南科学技术出版社, 1984年 1月, 毕业论文任务书这篇论文要完成的任务主要有两个：一、针对一阶微分方程的微分形式为非全微分方程时，求其通解的常用方法。二、给出一些常用的求解积分因子的方法和技巧。 摘要：本文针对一阶微分方程的微分形式为非全微分方程时，求其通解的常用方法是：首先求出积分因子，使其变为全微分方程，进而求得其通解.而这种方法最为困难的就是求积分因子，本文给出了一些常用的求解积分因子的方法.关键词：一阶微分方程；积分因子；全微分方程；通解。Abstract: When the differential form of a first order differential equation is not fully Differential equation, the common method to solve it is : first ,change the equation into fully differential equation by finding integral divisor then find its general solution.However, finding the integral divisor is not so easy. In this paper a technique for finding the integral divisor is given.Key Words: first order differential equation; integral divisor; fully differential equation;general solu