例谈反证法在数学证明中的应用.doc

广东石油化工学院高州师范学院毕业论文例谈反证法在数学证明中的应用【摘要】反证法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用反证法更简捷明了。文章阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤，重点论述了反证法在中学数学证明中的应用。【关键词】反证法 证明 假设 矛盾 结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。一、对“反证法”的概述 （一）反证法的概念及其逻辑依据1.反证法的概念假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。2.反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。矛盾律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾（对立）的判断， 其中至少有一个是伪的。排中律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾的判断， 不能为伪， 其中必有一个是真的。（二）反证法的证明步骤设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：1. 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；2. 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾与已知条件已知的公理定理定义反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。二、反证法在数学证明中的应用反证法在数学证明中的应用非常广泛，反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。1.否定性命题结论以“没有”“不是”“不能”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而用反证法就容易多了。例1求证:当 n为自然数时 ,2(2 n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。证明：假设有整数 a , b ,使，即 (a + b)(a - b)=2(2n + 1) 当 a ,b 同奇、 同偶时 , a + b、 a - b 皆为偶数 ,(a + b)(a - b) 应是4的倍数 ,但2(2n+ 1) 除以4余2 ,矛盾。 当a，b一奇一偶时 ,a + b、a - b皆为奇数 ,(a + b)(a - b) 应是奇数 ,但2(2n + 1)为偶数 ，矛盾。所以假设错误 ,即2(2n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。2.限定性命命题 结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。例2 在半径为的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于。证明： 假设每个小圆的公共部分的面积都小于，而九个小圆共有个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于，又大圆面积为，则九个小圆应占面积要大于，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于。例3 试证： 由三个小于1的实数a，b，c构成的三个乘积（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a至少有一个不大于。证明：a，b，c中如果有一个小于或等于零， 则命题成立。假设0a，b，c1且（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，由第一式有（1-a）ab，1-a与a都是正数，b也是正数。 （1-a）ab b=，因此ab。同理由第二、 第三式可得bc，ca，即abca矛盾。故三个乘积（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a至少有一个不大于。 3.无穷性命题结论是无穷的，结论涉及的对象无法一一列出，而它的反面是有限的、肯定的命题。例4 求证：质数的个数是无穷的。证明：假设质数的个数有限，不妨设为k个，则可以将全体质数列举如下：p，p，p。令q= ppp，其中q是自然数，又令P是q的大于1的质因数；因为p，p，p是全体质数，所以，一定有某个P =P，(1i k)。显然ppp是P的倍数，所以P=1，这与P是大于1的质因数相矛盾 ，所以，质数的个数是无穷的。例5 求证：是无理数。分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将表示为一个分数。证明： 假设是有理数，则存在互质，使，从而，为偶数，记为，所以，所以，则也是偶数。由,均为偶数与、互质矛盾，故是无理数。4.逆否命题原命题与它的逆否命题是同真同假的，某些命题，可以用反证法来证明它的逆否命题，从而带来方便。例6 证明：。 分析：将“”视为原命题。要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“，则=0”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的。证明：若 ，则 = = = = 0 原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。5.唯一、存在型命题即结论是证“ 唯一性” ，“ 存在性”的命题。例7 求证：方程x = sinx的解是唯一的。 证明：显然，x=0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。 假设方程至少有两个解、()，则有sin= ，sin= 两式相减得： sinsin= 2cossin=- |sin| |cos| 得 |cos|1， 显然矛盾。 故 方程 x = sinx的解是唯一的。例8设x，y(0,1),求证:对于a, bR ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax - by|成立.证明：假设对于一切x,y（0 ,1）使|xy-ax-by|恒成立，令x=0 , y=1 ,得|b| ，令x=1, y=0 , 得|a|，令x = y = 1 ,得|1-a- b|但|1- a - b|1-|a|-|b|1-= 产生矛盾,故欲证结论正确。6.全称肯定性命题即结论以“总是”、“都”、“全”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。例9 如果两个数的绝对值的和是零 ,证明这两个数都是零。证明:假如两个数不都是零 ,如果其中一个数不是零 ,则它的绝对值是正数 ,而正数加零是正数 ,于是两个数的绝对值的和是正数;如果两个数都不是零,则它的绝对值的和也是正数。 这都与已知矛盾。 所以这两个数一定都是零。例10 求证:无论是什么自然数，总是既约分数。证明：假设不是既约分数，令，（k,a,bN,k1），且 为既约，由3-2得，因为整数，为分数，则不成立，故假设不成立，分数是既约的。7.基本命题即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。例11 已知：如图1，ABEF于M，CDEF 于N，求证：ABCD。证明: 假设AB,CD不平行，即AB,CD交于点P ，则过P点有ABEF ，且CDEF，这与“过直线外一点，有且 图1只有一条直线垂直于已知直线”矛盾 。 假设错误，则ABCD。例12 求证：两条相交直线只有一个交点。 已知：如图2，直线a、b相交于点P,求证：a、b只有一 个交点。图2证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q，于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a, b。与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。8.一些不等量命题的证明如：证不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。例13 若、为正锐角且sin+ sin+ sin=1，求证+。证明：设+，则+-，故 sin（+）sin（-）=cos。由条件知 cos=1- sin= sin+ sin，故 sin（+）- sinsin.又 sin（+）- sin = sin（+）+ sinsin（+）- sin = 2sincos2cossin = sinsin(+2) sinsin(+2)sin,即sin(+2)sin.若+2，则+2，即0，与已知为正锐角矛盾。若+2，则sin(+2)= sin-(+2),由-(+2)，则有-(+2)，即+与假设矛盾。 由、知，+.三、运用反证法应注意的问题反证法是间接证法中的一种，它最大的优点是无形中多了一个或几个条件, 从原结论的相反结论出发, 再利用原有的一些已知条件, 导出矛盾, 从而达到否定假设, 肯定原命题的目的。在运用反证法时应注意的问题：1.必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的首要问题。如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”。2.必须明确推理的特点否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的。一般总是在命题的相关领域里考虑（例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点。因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。3.了解矛盾的种类反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。反证法是数学中一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作用。 它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨,提高数学解题能力。参考文献