勾股定理毕业论文.pdf

学科分类号（二级）学科分类号（二级）110.17 本科学生毕业论文（设计）本科学生毕业论文（设计） 题题 目目 包含任意整数的勾股数包含任意整数的勾股数 姓姓 名名 洪鹏鲲洪鹏鲲 学学 号号 094080350094080350 院院 、系、系 数学学院数学学院 专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学 指导教师指导教师 职称（学历）职称（学历） 副教授副教授（硕士）（硕士） 1 包含包含任意整数的勾股数任意整数的勾股数 摘要：摘要：本文解决了求任意整数的勾股数，以勾股定理为出发点，利用初等数 学知识，主要运用数学方法推理证明，利用计算机进行辅助求证.研究不定方程 222 xyz的一些性质，发现并证明了勾股数之间的一些规律.具体解决三个问 题： 一.已知数是直角边长时， 求另两边长； 二.已知数是斜边时， 求两直角边长； 三.求任意整数的勾股数及组数. 关键词关键词: :勾股数；平方和；整数解 1 1. .前言前言 勾股定理 1是人类文明史上光彩夺目、永不消逝的明珠.是人类发现的第一 个定理、第一个不定方程、证法第一多的定理.它引发了第一次数学危机，开始 把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学. 我们知道，勾股定理的代数关系式 222 abc，当已知直角三角形的任意两 条边的长度时， 根据这个关系式就可以很快而直接地求得这个直角三角形的第三 条边的长度.而现在，假设已知直角三角形的一条边的长度且为整数，那么，另 外两条边的长度都为整数的解能否求得？直观上看，答案可能有无数组解，因为 一个方程中有两个未知数.但当我们求解时就会发现， 答案并不是那样简单.虽然 这里是一个不定方程两个未知数，但条件要求是整数解，这其实是特殊二元不定 方程.本文就是以此为出发点，运用数学方法推理证明，最终就会发现：任意大 于2的整数都可以作为整直角三角形的直角边长，而不一定能作为斜边长.给出 一个数就可以求出包含它的所有勾股数. 2.2.基本定理及性质基本定理及性质 2.12.1 勾股定理勾股定理 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 1. 若直角三角形两直角边分别记为a，b，斜边记为c，那么有 222 abc.其 中a，b中的短边称为勾，长边称为股，c边称为弦. 2.22.2 勾股数勾股数 满足不定方程 222 xyz的正整数叫做勾股数（商高数） ，也叫毕达哥拉斯 数 2.其中 x，y中的较小数称为勾数，较大数称为股数，z称为弦数. 2.32.3 整数集合整数集合 N表示非负整数的集合（自然数集）. N 或 N表示正整数集合. aN表示元素a属于集合N. 2.42.4 整直整直角三角形角三角形 2 各边长都为整数的直角三角形. 2.52.5 完全平方公式及性质完全平方公式及性质 完全平方公式1： 222 ()2abaabb. 2.62.6 奇偶数平方的性质奇偶数平方的性质 奇数的平方是奇数： 2222 (21)4412(22 ) 1mkkkkk . 偶数的平方是偶数： 2222 (2 )42(2)mkkk. 2.72.7 素三元组素三元组 无公约数的商高数称为本原商高数（素三元组） 1.即若( , , ) a b c是勾股数且 有( , , )1a b c （表示, ,a b c的最大公约数是1，即, ,a b c两两互质） ，则( , , )a b c是素 三元组. 本原商高数, ,a b c中的一条“直角边” （勾或股）的长度应当是偶数，而另一 条长度必是奇数，即一奇一偶. 2.82.8 勾股数的规律勾股数的规律1 毕达哥拉斯三元组( , , )a b c有 222 abc，则(,)ka kb kc（其中k是任意正整 数）也是一组勾股数 1. 证明并不难，只要带入验证即可.反过来，如果某三元组( , , )a b c有一个共同 的公约数p，那么用这个公约数p去除他们，又可得到一组勾股数(,) a b c p p p . 2.92.9 常见勾股数常见勾股数 3, 4, 5 : 勾三股四弦五 3. 5, 12, 13: 512记一生（13）. 6, 8, 10 ： 连续的偶数. 8，15，17 ： 八月十五在一起（17）. 2.102.10 特殊的勾股数特殊的勾股数 连续的勾股数只有3, 4, 5 4. 连续的偶数勾股数只有6, 8, 10. 2.112.11 奇妙的勾股数奇妙的勾股数 如果a，b，c是一组勾股数，则a，b，c中必有一个是3的倍数 5. 如果a，b，c是一组勾股数，则a，b中必有一个是4的倍数. 2.122.12 勾股数中的任勾股数中的任意一个数都大于意一个数都大于2 任意一组勾股数中的三个数互不相同，明显弦数一定大于2，那么只需考虑 3 勾数就可以，即证明方程 222 ayz(1,2)a 无正整数解. 当1a 时，即 22 1yz，此时有()()1zy zy，因y，z都是正整数， 且由题可知yz，所以有1zy且1zy，所以()()1zyzy，所以 22 1yz无正整数解. 当2a 时，即 22 4yz，有()()4zy zy，因1zy且2zy，所 以 22 4yz无正整数解. 因此，本文中提到的勾股数的任意数a，以及所求方程的解中的数，都是大 于2的整数. 3.3.包含任意整数的勾股数包含任意整数的勾股数 求解包含任意整数a的勾股数，从直观上考虑，可以分成两种情况：一、已 知数作为直角边长时，求另一直角边长和斜边长；二、已知数作为斜边长时，求 两直角边的长. 3.13.1 知勾股求弦长知勾股求弦长 有一整直角三角形，若a作为一条直角边边长，求另外两条边的长度.即求 解方程 222 ayz(2,)aaN的正整数解( , )y z.例如求解方程 222 15yz的 正整数解. 此问题可分步骤解决，先证明方程有解，再求出具体解. 3.1.1 3.1.1 方程 222 ayz有正整数解. 观察方程，可以变换方程为 222 azy，联想到 22 4()()xyxyxy 则若amn()mn时（这是很明显成立的，至少有1,nma时成立）有 2222 222 ()()() 22 mnmn mn . 即amn， 22 2 mn y ， 22 2 mn z . 讨论： .若,m n同为奇数或同为偶数，则 22 2 mn ， 22 2 mn 都为整数，满足解的 条件. 例1.若155 3a ，5m ，3n ， 22 2 mn y 259 2 8， 22 2 mn z 259 2 17. 4 满足 222 15817，即22564289. 例2.若246 4a ，6m ，4n ， 22 2 mn y 36 16 2 10， z 22 2 mn36 16 2 26. 满足 222 241026即576 100676. .若,m n为一奇一偶，则 22 2 mn ， 22 2 mn 都为分母是2的分数且不能化 为整数，例3.若105 2a ，5m ，2n . 22 21 22 mn y ， 22 29 22 mn z . 虽然满足 222 ayz，但是这不是问题的解，这不是勾股数，此时a为偶数，则 另有m，n使成立2amn()mn（这是明显成立的，至少有1, 2 a nm）. 2222222 (2)()()mnmnmn 即 22 ymn， 22 zmn. 此时y，z就为正整数，满足方程也满足勾股数，是问题的解. 例4.若2 3 2a ，3m ，2n ， 22 945ymn， 22 9413zmn. 满足 222 51213即25 144169. 由以上讨论和分析可知方程 222 ayz(2,)aaN的正整数解存在且有 如下结论： 定理定理1. .任意大于任意大于2的整数都可以作为勾股数中的勾或股（即存在任意大于的整数都可以作为勾股数中的勾或股（即存在任意大于 2 的整数为直角边边长的整直角三角形）的整数为直角边边长的整直角三角形）. . 3.1.2 3.1.2 方程方程 222 ayz的解的解 由方程 222 ayz有整数解的证明过程，可以归纳总结出此方程的解. 3.1.2.1.3.1.2.1.若a是奇数，将 2222 222 ()()() 22 mnmn mn 中的,m n分别用k， a k 替 5 代，则有 22 22 22 222 ()() 22 aa kk kk a = 4242 22 22 ()() 22 kaka kk . 则 24 2 2 ak y k 22 1 ( ) 2 a k k ， 42 2 2 ka z k 22 1 ( ) 2 a k k . 若k是a的约数，则 a k 也是奇数，所以 2 k， 2 2 a k 也是奇数，则 2 2 2 a k k 和 2 2 2 a k k 是 偶数，所以y和z也都是整数，即( , )y z是原方程的解.只需要取ka即可，避 免重复. 例5.若15a 作为直角边长时，有1k ，3，5，15分别求得：(112,113)， (8,17)，(8,17)，(112,113)，只取1k ，3，则得到的勾股数组为：(15,112,113) 和(15,8,17)都是方程的解，但不是完全解.这是因为k的取值特殊. 令 2 kt，则 24222 2 1 () 222 akata yt ktt ， 42222 2 1 () 222 kataa zt ktt . 若t是 2 a的约数， 则t， 2 a t 都是奇数， 则y和z也都是整数.其中ta， 此时( , )y z 是方程的解.那么若a是奇数，只有满足t是 2 a的约数且ta所得到的的解才是 解吗？需要进一步证明，步骤如下： .若 2 t a（t整除 2 a） ，因 2 a是奇数，所以t， 2 a t 都是奇数，所以 2 2 () a t t ，那么 2 1 () 2 a t t 是整数，所以是解. .若tN且 2 t a宎，则 2 a N t ，则 2 () a tN t ，所以 2 2 () a t t 宎，所以无解. .若t是不能化成整数的分数，用反证法，具体如下： 假设存在t使 2 1 () 2 a ytN t ，变形有 22 2tyta成立，那么 6 2222 2tytyay即 222 ()tyayN，所以tyN，又因yN，所以 tN，这与题目中的条件“t是不能化成整数的分数”相矛盾，所以t是不能化 成整数的分数时，无解. 综上所述，若a是奇数，不定方程 222 ayz(2,)aaN的正整数解为： 22 2 at y t ， 22 2 ta z t （t是 2 a的约数，ta）. 也就是说： 若a是奇数， 包含a且a作为勾或股的勾股数的组数为小于a中且是 2 a 的约数的个数. 例6. 若15a 作为直角边长时，有1t ，3，5，9 分别求得：(112,113)， (36,39)，(20,25)，(8,17)即得到勾股数组分别为：(15,112,113)，(15,36,39)， (15,20,25)，(15,8,17)是方程的完全解. 3.1.2.23.1.2.2.若a是偶数，则可以有 2 , a k k 都为整数（其中k是 2 a 的约数）. 将 2222222 (2)()()mnmnmn中的,m n分别用k， 2a k 替代，则有 222 222 2 () () 22 aa akk kk 22 2222 22 ()() 44 aa kk kk . 则 24 2 4 4 ak y k 22 () 2 a k k （只需要取2ka，避免重复） ， 24 2 4 4 ak z k 22 () 2 a k k . 因为a是偶数，则 2 a是4的倍数，所以y和z也都是整数.由求奇数解的过程得 经验，可以令 2 kt，则 24222 2 44 444 akata yt ktt ， 24222 2 44 444 akata zt ktt . 若t是 2 4 a 的约数， 则t， 2 4 a t 都是奇数， 则y和z也都是整数.其中 2 a t ， 所以( , )y z 是方程的解. 那么a是偶数时，只有满足t是 2 4 a 的约数且 2 a t 所得到的才是方 程的解吗？需要进一步证明，步骤如下： .若 2 4 a t（t整除 2 4 a ） ，则 2 () 4 a t t 是整数，所以是解. 7 .若tN且 2 4 a t 宎，则 2 4 a N t ，则 2 () 4 a tN t ，所以无解. .若t是不能化成整数的分数，用反证法，具体如下： 假设存在t使 2 4 a ytN t ，变形有 22 44tyta成立，那么 2222 44tytyay即 222 (2)tyayN，则 .若y是偶数，因a是偶数，所以2ty也是偶数，则tN.与题设中的“t 是不能化成整数的分数”相矛盾，所以t是不能化成整数的分数时，无解. .若y是奇数，因a是偶数，则 22 ay也是奇数，所以2ty是奇数，又因 y是奇数，所以2t是偶数，则tN.与题设中的“t是不能化成整数的分数”相 矛盾，所以t是不能化成整数的分数时，无解. 综上所述，若a是偶数，不定方程 222 ayz(2,)aaN的正整数解为： 22 4 4 at y t ， 22 4 4 at z t （t是 2 a的约数， 2 a t ）. 也就是说：若a是偶数，包含a且a作为勾或股的勾股数的组数为小于 2 a 且是 2 4 a 的约数的个数. 例7.若24a ，则1t ，2，3，4，6，8，9，分别得到勾股数组(24,143,145)， (24,70,74)，(24,10,26)，(24,32,40)，(24,18,30)，(24,45,51)，(24,7,25)是方 程的完全解. 由以上推导，有： 定理定理2. .不定方程不定方程 222 ayz(2,)aaN的正整数解为：的正整数解为： .若若a是奇数，则是奇数，则 22 2 at y t ， 22 2 ta z t （t是是 2 a的约数，的约数，ta）. . . .若若a是偶数，则是偶数，则 22 4 4 at y t ， 22 4 4 at z t （t是是 2 4 a 的约数，的约数， 2 a t ）. . 推论推论 1 1: :任意整数任意整数(2)a a ， 包含， 包含a且且a作为勾或股的勾股数的组数为： 若作为勾或股的勾股数的组数为： 若a是是 奇数，小于奇数，小于a且是且是 2 a的约数的个数；若的约数的个数；若a是偶数，小于是偶数，小于 2 a 且是且是 2 4 a 的约数的个数的约数的个数. . 3.1.33.1.3 方程方程 222 ayz的拓展的拓展 由以上的证明求解可以的得到以下相关结论： .任意大于2的整数都可以分解成 222 ()()amnmn mn的形式，其 中m，n都是正整数. 8 .双曲线 22 22 1 xy aa (2,)aaN上存在整数点( , )x y（, x y都是正整数）. 两个结论都是由方程 222 ayz变形和已有定理可以明显得到. 3.2 3.2 知弦长求勾股知弦长求勾股 有一整直角三角形，若a作为斜边边长，求两条直角边的长度.即求解方程 222 xya的正整数解( , )x y.例8.求解方程 222 25xy的正整数解. 同上，分两步来解决. 3.2.13.2.1 方程方程 222 xya有正整数解的条件有正整数解的条件 方程 222 xya(2,)aaN有正整数解条件 由 22 ()()4mnmnmn 22 ()(2)mnmn. 则若amn()mn且 * mnN就有 222 ()(2)amnmn 则 xm n， 2ymn. 就是说若整数a作为斜边长时，存在整直角三角形的条件是：存在不相等的正整 数,m n使amn且 * mnN.所以有： 定理定理3：存在：存在整数整数a作为弦数的三元组的作为弦数的三元组的条件条件是是a的加法分解中的加法分解中 （amn(0)mn）中存在）中存在m，n使使mn属于整数属于整数. . 3.2.2 3.2.2 方程方程 222 xya的解的解 可以从有解条件的推导过程的结论入手，有 令amn（,m nN，0mn） ，则 22 ()amn 2 ()4mnmn 22 ()(2)mnmn. 所以方程 222 xya(2,)aaN的正整数解为： xm n， 2ymn（其中,m nN，0mn， 2 a n ，mnN）. 那么，amn，只有,m nN且mnN时，得到的才是方程的解吗？需要进 9 一步证明，步骤如下： .若amn， 当,m nN且mnN时，是方程的解. .若amn， 当m，n有一个为整数时，另一个不是整数时，mnN， 所以无解. .若amn， 当m，n都不是整数时，若有mnN，且mnN 时，那 么mnN（两个不同分数（不是化成整数）的和与差不可能都是整数.） ，这 与题设中mnaN相矛盾，所以无解. 综上所述，有 定理定理4：若：若a作为整直角三角形的斜边长，则两直角边长分别为：作为整直角三角形的斜边长，则两直角边长分别为： xm n，2ymn（其中（其中amn，,m nN，0mn，mnN）. . 推论推论2：整数整数a作为弦数的所有三元组的个数就是作为弦数的所有三元组的个数就是a的加法分解中的加法分解中 amn(0)mn满足满足 * mnN的的( , )m n且且 1 122 2 mnmn的个数的个数（其中 1 122 2 mnmn，是为了避免同一三元组的重复计数）. 例8.若25a 考虑25的整数分解中251 2422332212 13 L 只有5 2010和6*1912是正整数. 所以对于5 2010有 20515xmn， 22 10ymn . 即有三元组(15,20,25)； 对于6*1912则有三元组(7,24,25). 例9.在301 2922832714 1615 15a L中有24 612 和27 39，而2 918246 ，所以只有一组.即(18,24,30). 3.2.33.2.3 方程方程 222 xya的拓展的拓展 .方程 222 xya(2,; ,)aaN x yN的求解的过程，通过几何反映就 是：寻找半径为a的圆上是否存在正整数点( , )x y * ( ,)x yN使 222 xya成立. .如果两个整数都是两个数的平方和，则他们的积也是两个数的平方和 6. 证明： 设 22 pab， 22 qcd.于是 2222 ()()pqabcd 22222222 a ca cb cb d 10 2222 ()2()()()()2()()()acac bdbdadad bcbc 22 ()()acbdadbc 这是两个数的平方和.另外还有 222222 ()()()()pqabcdacbdadbc 这给出了一个数可以用两种不同的方式表示成两个数平方和的可能. 例10.若取5和10，他们都是两个数的平方和.我们有 2222 505 10(12 ) (13 ) (1 1 2 3)(1 32 1) 22 71 当一个完全平方数是两个数的平方和是，我们就有一个毕达哥拉斯三元组 ( , , )a b c，且有 222 abc.有可能通过把c分解成更小的因子之积其中每个 因子都是两个数的平方和来构造这样的三元组. 3.3.3 3 包含任意整数的勾股数包含任意整数的勾股数 给出任意一个正整数a(2)a ，求包含a的所有勾股数组.此问题实际就是 总结前两个问题的结论. 首先，先其求出a作为勾数或股数的三元组，具体如下： .若a是奇数，列出小于a且能整除 2 a的所有t，带入公式 22 2 at y t ， 22 2 ta z t .求出( , )y z，则a作为勾数或股数的三元组就为( , , )a y z. .若a是偶数，列出小于 2 a 且能整除 2 2 a 的所有t，带入公式 22 4 4 at y t ， 22 4 4 at z t 求出( , )y z，则a作为勾数或股数的三元组就为( , , )a y z. 其次，求出a作为弦数的三元组，具体如下：列出a的所有加法分解 amn， 找出mn是整数的m，n.带入公式xm n，2ymn， 求出( , )x y， 则a作为弦数的三元组就为( , , )x y a. 最后，总结两个步骤的结果，得出答案. 例11.若30a ，求包含a的所有勾股数组. 分析：由勾股数的性质，可分为两种情况讨论. .若a作为勾或股，由定理2有满足条件的t可以取1,3,5,9，则得到的4 组勾股数为：(30,224,226)，(30,72,78)，(30,40,50)，(30,16,34). 11 .若a为弦数， 由定理3，： 301 2922832714 1615 15 L 中有24 612和27 39， 而这两个分解产生的是同一个三元组(18,24,30)， 所以有一组. 综上可知包含30的所有三元组个数就为5个，分别为： (30,224,226)，(30,72,78)，(30,40,50)，(30,16,34)，(18,24,30). 例13. 若30a ，包含a的所有勾股数组的个数为 . 分析：其实此题是例14的简化，只需要求出三元组的个数，那么根据推论1， 小于 2 a 且是 2 4 a 的约数有：1,3,5,9，则得到的4组勾股数.再根据推论2，a的 加法分解中amn(0)mn满足 * mnN的( , )m n有(24,6)和(27,3).且 1 122 2 mnmn的只有一组(24,6)（或(27,3)）.得到1组勾股数.综上，包含 30的所有勾股数组的个数为4 15 个. 4.4.勾股数的编程求解勾股数的编程求解 C 语言编程，求解出一直角边长在30以内所有勾股数，可对上面的证明求 解进行直观验证，由于已经有理论证明，故无需求很多勾股数组.进行编程，利 用计算机给出答案.可对理论证明进行形象的验证. 程序如下： #include void main() int i,j,k,n=0; for(k=1;k31;k+) for(i=1;i65536;i+) for(j=1;j65536;j+) if(k*k+i*i=j*j) printf(“%d2+%d2=%d2n“,k,i,j),n+; ; ; ; printf(“n=%d“,n); ; 运行结果如下： 12 32+42=52 42+32=52 52+122=132 62+82=102 72+242=252 82+62=102 82+152=172 92+122=152 92+402=412 102+242=262 112+602=612 122+52=132 122+92=152 122+162=202 122+352=372 132+842=852 142+482=502 152+82=172 152+202=252 152+362=392 152+1122=1132 162+122=202 162+302=342 162+632=652 172+1442=1452 182+242=302 182+802=822 192+1802=1812 202+152=252 202+212=292 202+482=522 202+992=1012 212+202=292 212+282=352 212+722=