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哈尔滨师范大学哈尔滨师范大学 学学年年论论文文 题题目目谓词演算在数学理论中的应用谓词演算在数学理论中的应用 学学生生 指导教师指导教师庞健庞健教授教授 年年级级2007 级级 专专业业数学与应用数学数学与应用数学 系系别别数学系数学系 学学院院数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 哈尔滨师范大学 20102010 年年 0505 月月 论论 文文 纲纲 要要 在基础数学课程改革的背景下，高中阶段开设数理逻辑课程哪些方面展开更有利于老师的 教和学生的学， 是一个非常重要的问题。 本文通过对谓词演算的了解来解决在数学理论中存在的 一些逻辑问题，谓词演算对于描述更复杂的数学结构是不充分的。从文法上说谓词演算在 现存的命题演算上增加了“谓词-主词结构”和量词。谓词演算在函数、集合、离散数学等方 面的诸多应用和诸多理论。 谓词演算在数学理论中的应用 吕姗姗 摘摘 要：要：在基础数学课程改革的背景下，高中阶段开设数理逻辑课程哪些方面展开更有 利于老师的教和学生的学， 是一个非常重要的问题。 本文通过对谓词演算的了解来解决在数 学理论中存在的一些逻辑问题，谓词演算对于描述更复杂的数学结构是不充分的。从文 法上说谓词演算在现存的命题演算上增加了“谓词-主词结构”和量词。谓词演算在函 数、集合、离散数学等方面的诸多应用和诸多理论。 关键词：关键词：谓词演算 数学理论 数理逻辑 数理逻辑最基本的形式系统。又称一阶逻辑。一个可以回答真假的命题，不仅可 以分析到简单命题，还可以分析到其中的个体、量词和谓词。个体表示某一个物体或 元素，量词表示数量，谓词表示个体的一种属性 。例如用 P(x)表示 x 是一棵树，则 P(y)表示 y 是一棵树，用 Q(x)表示 x 有叶 ，则 Q(y)表示 y 也有叶。这里 P、Q 是一 元谓词，x，y 是个体，公式“x(P(x)Q(x)表示每一棵树都有叶子 ，这里“是全称量 词表示“每一个” 。公式$x(P(x)Q(x)表示有一棵没有叶的树，这里$是存在量词， 表示“存在一个”。 在数学中的关系，函数都可以看成谓词 。例如 x 2 的函数或谓词。当然有序对或投影需要满足 那些自然公理。 常量、函数和关系的集合通常被认为形成了一个语言，而变量、逻辑算子和量词 通常被认为属于逻辑。例如，群论的语言由一个常量(单位元素)，一个 1 价函数(反)， 一个 2 价函数(积)，和一个 2 价关系(等于)组成，等号可以被包含在底层的逻辑中 而被忽略。 项的集合按如下规则递归的定义: 任何常量是项。 任何变量是项。 n 1 个参数的任何表达式 f(t1,.,tn) (这里的每个参数 ti 都是项，而 f 是 n 价的函数符号) 是项。 闭包条款: 其他东西都不是项。 合式公式 合式公式(通常叫做 wff 或只是公式)按如下规则递归的定义: 简单和复杂谓词 如果 P 是 n 1 价的关系而 ai 是项，则 P(a1,.,an) 是合 式的。如果等式被认为是逻辑的一部分，则 (a1 = a2) 是合式的。所有这个公式都 被称为是原子。 归纳条款 I: 如果 是 wff，则 是 wff。 归纳条款 II: 如果 和 是 wff，则 ( ) 是 wff。 归纳条款 III: 如果 是 wff 而 x 是变量，则 x 是 wff。 闭包条款: 其他东西都不是 wff。 因为 ( ) 逻辑等价于 ( )，( ) 经常用做简写。( ) 和 ( ) 也是同样的道理。还有 x 是 y 的简写。 实际中，如果 P 是 2 价关系，我们经常写 “a P b“ 替代 “P a b“；例如，我们 写 1 2 而不是 (1 2)。类似的，如果 f 是 2 价函数，我们有时写 “a f b“ 替 代 “f(a b)“；例如，我们写 1 + 2 而不是 +(1 2)。经常省略某些圆括号，如果不导 致歧义的话。 例如：有序阿贝尔群的语言有一个常量 0，一个一元函数 ，一个二元函数 +， 和一个二元关系 。所以 0, x, y 是原子项 +(x, y), +(x, +(y, (z) 是项，通常写为 x + y, x + y z =(+(x, y), 0), (+(x, +(y, (z), +(x, y) 是原子公式，通常写为 x + y = 0, x + y - z x + y (x y ( +(x, y), z) (x =(+(x, y), 0) 是公式，通常写为 (x y x + y z) (x x + y = 0) 对于任何理论，知道公理的集合是否可用算法生成，或是否存在算法确定合式公 式为公理，是很有价值的。 如果存在生成所有公理的算法，则公理的集合被称为递归可枚举的。 如果存在算法在有限步骤后确定一个公式是否是公理，则公理的集合被称为递归 的或“可判定的”。在这种情况下，你还可以构造一个算法来生成所有的公理: 这个算 法简单的(随着长度增长)一个接一个的生成所有可能的公式，而算法对每个公式确定 它是否是个公理。 谓词演算在数学中的灵活应用虽然现在不是太完善的一种数学方法，但是应用谓 词演算来解决数学问题能更清晰的解决数学中存在的一些不能表达的数学难题，合理 的运用谓词演算不但对数学学习有帮助，而且对信息科学与技术的发展也有着不可限 量的作用，主要体现在函数、集合、离散数学等方面。还有很多的信息需要继续的研 究发现，我们应该正确的对待谓词演算在数学理论中的重要地位，学习它应用它解决 更多的数学问题，为我们能从多角度的去研究数学。 参考文献：参考文献： 【1】Barnes， D W et a1，in Algebraic Imroducsion to Mathematical Logic,springer-Verlag，1975 【2】Curry，H.B ,et a1.，in Combinatory Logic，Vol.l，No rthHolland Co，1958 【3】Hindley，J Rer al.， inlntroduction to Combinasors amdCambridge Univers