护士工作时间调度的最优模型介绍

护士工作时间调度的最优模型 何挺 严茂花 万启龙 摘要：本文主要建立整数规划模型解决护士工作时间调度的问题。模型I、II：针对问题1，考虑到每个护士一天工作8小时，且连续工作4小时后需要休息2小时，我们建立了以满足需求时需要工作的最少护士人数为目标函数的整数规划模型。用软件求解得到满足需求至少需要的护士为100名，且第1、2、11、12时段开始工作的人数、分别为：23、17、12、0、0、11、17、13、7、0、0、0人；对应时段内实际工作的护士人数分别为：30、40、29、35、40、40、40、41、35、35、30、20人。从此工作时间调度表可以看出凌晨0：00到早上4：00这段时间，安排开始上班和下班的总人数有59人，占满足需求时需要工作的最少护士人数的59%。这不利于这段时间开始上班和下班的护士的生活，会引起护士对工作时间调度的不满意，为降低不满意度，我们对模型I进行改进，即给出人性化安排。以凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班的人数最少为目标函数，建立模型II。用软件求得这段时间开始上班和下班的人数为10人,所占比率为10%。提高了护士对工作时间安排满意度，并给出最佳工作时间安排。模型III、IV：针对问题2，在医院护士人数不足的情况下需要部分护士加班。同问题1类似分析，建立以需要加班的护士人数最少为目标函数的整数规划模型。用软件求得需要加班的最少护士人数为40人。同模型II分析，此安排在凌晨0：00到早上4：00开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）和下班的人数有29人，占医院护士人数的36.25%,也比较大。所以对模型III进行改进，也即给出人性化安排。以凌晨0：00到早上4：00这段时间开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）的下班的人数最少为目标函数，建立模型IV，利用软件处理得到这段时间开始上班和下班的护士为5人，所占比率为6.25%。并给出医院护士在只有80名的情况下护士的工作时间最佳安排。针对模型II和模型IV对各个时段所需的护士人数、医院护士人数最少、医院护士人数限定以及最少加班人数作灵敏度分析。得出，在模型II中如过医院的护士增加到100人，凌晨0：00到早上4：00这段时间，安排开始上班和下班的人数为0，即护士对工作时间调度的满意度最高；在模型IV中，医院护士加班的人数增多5人，在凌晨0：00到早上4：00这段时间安排开始上班和下班的人数才减少1人，而医院的护士人数增加为85人时，这段时间开始上班和下班的人数就可减少到0，所以我们建议医院最好采用增加护士人数的办法来增加护士的满意度。关键字：整数规划模型 护士工作时间调度 满意度 人性化安排。 软件 灵敏度分析一 问题重述某医院一个工作日（分为12个两小时长的时段）每个时段需要护士人数如下表： 每个时段的人员需求表编号 时段 需要护士人数0 00am-02am 151 02am-04am 152 04am-06am 153 06am-08am 354 08am-10am 405 10am-12pm 40 6 12pm-02pm 407 02pm-04pm 308 04pm-06pm 319 06am-08pm 3510 08am-10pm 3011 10pm-12am 20问题1：假定每个护士每天工作8小时，且在连续工作4小时后需要休息2小时，请计算为满足需求至少需要多少个护士。问题2：此医院目前只有80名护士，这个数目不足以满足需求，因此需要安部分人加班，每天加班时间为2小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息，请给出护士工作时间安排方案，以使需要加班的护士人数最少。二 模型假设模型I、II的假设：1、假设每个护士都服从工作安排；2、假设每个护士都准时上、下班，在上班期间无特殊情况发生,不需要请假；3、假设每个护士每天工作8小时，且连续工作4小时后只能休息2小时，在休息2小时后连续工作；4、假设在夜晚要上班的护士所要休息的2个小时都在医院休息。模型III、IV的假设：1、假设此医院目前只有80名护士，且每名护士都要上班，无请假人员；2、假设80名护士不能满足要求，需要安排部分人加班；3、假设每天加班的时间为2小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息时间。三 符号约定：为满足要求至少需要的护士人数；：在护士人数不满足要求时，至少需要加班的护士人数；：第个时段医院需要护士人数；：第个时段开始工作的护士人数，(第1时段为0002，第2时段为0204第12时段为1012)，；：第个时段开始工作的护士人数中不需要加班的人数，； ：第个时段开始工作的护士人数中需要加班的人数，。四 问题分析根据医院需求，我们需要合理安排护士的工作时间。问题1：我们需要保证在每个时段都有足够的护士在工作。考虑到护士一天只工作8小时，且连续工作4小时后需要休息2小时。例如：在第6时段内工作的护士人数等于此时段开始工作的护士人数、第5时段开始工作的人数、以及第2个和第3个时段开始工作的护士人数之和。即：在时段6中，正在工作的护士分别在时段2、3、5、6开始工作，例如：有个护士在时段2开始工作，则她在时段2和时段3中将进行工作，在时段4休息，然后在时段5和时段6继续工作。所以以满足要求时需要工作的最少护士人数为目标函数，护士一天工作八小时，且连续工作四小时后需要休息2小时为约束条件，建立整数规划模型，求出满足需求时需要护士的最少人数。此工作时间安排可以满足医院需求，但按此工作时间调度表，凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班的护士人数很多人，所占总人数的比率很大，考虑到这样的工作时间调度表可能会引起在这段时间内开始上班和下班的护士的不满，为解决不满，我们对模型I进行改进，以凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班的护士人数最少为目标函数，建立模型II，利用软件求出更为合理的护士工作时间调度表。问题2：此医院目前只有80名护士，这个数目不足以满足需求，故需要安排部分人加班。考虑到护士每天只加班两小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息，同问题一类似分析，例如：在第6时段内工作的护士人数等于此时段开始工作的护士人数、第5时段开始工作的人数、第2个和第3个时段开始工作的护士人数以及第1时段开始工作的护士人数中需要加班的护士人数之和。建立整数规划模型III，利用软件处理求出最少加班人数。同问题1，考虑到凌晨0：00到早上4：00开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）和下班的护士较多，所占比率较大。我们对模型III进行改进，建立以凌晨0：00到早上4：00这段时间开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）的下班的人数最少为目标函数的规划模型，用软件处理求得更为合理的护士工作时间调度表。五 模型的建立与求解模型I：首先，知某医院的一个工作日分为12个时段，每个时段所需护士的人数不同，所以，必须保证每个时段都有足够的护士在工作；其次，每个护士一天只工作8小时，且连续工作4小时后需要休息2小时，所以可以给出约束条件；接下来，建立以满足需求至少需要的护士人数为目标函数的整数规划模型。模型如下：用软件求解，得：为满足需求，最少需要的护士人数为100人，且第1、2、11、12时段新安排工作的人数、和总的工作人数如下表一所示：时间段开始工作人数总工作人数00:00-02:00233002:00-04:00174004:00-06:00122906:00-08:0003508:00-10:0004010:00-12:00114012:00-14:00174014:00-16:00134116:00-18:0073518:00-20:0003520:00-22:0003022:00-00:00020表一模型II：为更好的对数据进行阐述分析，我们用图将其表示出来。 医院在不同时段所需的护士人数如图一所示：图一通过该图可以看出，医院的护士人数在白天需求量比较多，晚上较少，与针对不同疾病开设的医院在不同时段所需的护士人数进行比较，可推断该医院可能是病人在白天需要护士护理的医院（如心脑血管医院）。 各个时段开始工作的护士人数如图二所示：图二通过该图可以看出：护士在凌晨0：004：00开始上班与下班的总人数为59人，占最少所需护士总人数的59%；在这段时间间开始上班和下班的护士在生活会有很大的不便，如乘车，且所占百分比很大，超过一半。这对在这段时间开始上班和下班的护士有一定的不公平性，会引起这些护士的不满意。为降低不满意度，我们对模型I进行改进。为此本文做如下定义1：表示第个时段开始工作的护士人数，(第1时段为0002，第2时段为0204第12时段为1012)，；当（）中等于0、-1、-2、-3时，分别表示第12、11、10、9个时段开始工作的护士人数。定义2：凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班人数的多少为医院护士对工作时间调度表的满意度。这段时间开始上班和下班的人数越多，护士对工作时间调度表的满意度越小，这段时间开始上班和下班的人数越少，护士对工作时间调度表的满意度越大。护士在凌晨0：004：00开始上班和下班的人是由第1、2、3、8、9、10个时段开始工作的护士人组成，因此在满足医院各个时段护士需求的条件下，在模型I的基础上医院有100名护士，对护士的满意度可建立模型II，如下：用软件求解，得到第3时段（04：0006：00）开始上班的护士人数为5人；第2时段（02：0004：00）下班的护士人数也即第10时段（18：0020：00）开始上班的护士人数为5人，其他时段开始上班和下班的人数为0。即在凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班的总人数为10人（具体安排如下表二），仅占总人数的10%。比模型I的工作调度表更为合理，能很大程度上降低护士对工作时间安排的不满意度。得到模型改进后的最佳工作时间安排如图三所示：时间段开始工作人数总工作人数00:00-02:0001502:00-04:0001504:00-06:0052506:00-08:00203508:00-10:00204010:00-12:00154012:00-14:00155514:00-16:0005516:00-18:0003518:00-20:0053520:00-22:00103022:00-00:001020表二图三模型III：首先，医院只有80名护士，这个数目不足以满足需求。所以要部分人加班；其次，同模型I，只不过此模型中，每个时段内工作的护士人数（包括需要加班的护士人数和不需要加班的护士人数这两部分）不仅仅是前几个时段和相对应的此时段开始工作的护士人数之和，还应加上某时段开始工作的护士人数中需要加班的那一部分。例如：在第6时段内工作的护士人数等于此时段开始工作的护士人数、第5时段开始工作的人数、第2个和第3个时段开始工作的护士人数以及第1时段开始工作的护士人数中需要加班的那部分护士人数之和；最后，建立以加班的护士人数最少为目标函数的整数规划模型如下：利用软件求解，得到最少加班的护士人数为40人；第5、6、7、12时段开始工作的护士中需要加班的人数分别为：6、15、14、5人；其余时段开始工作的护士不需要加班。并求得各个时段开始工作的人数、开始工作的人数中不需要加班的人数及各个时段总工作人数如下表二所示；时间段不加班工作人数要加班人数开始工作人数总工作人数00:00-02:00190192402:00-04:000001904:00-06:00100101506:00-08:001013508:00-10:0096154010:00-12:00015154012:00-14:00014144014:00-16:001013116:00-18:000003118:00-20:000003520:00-22:000003022:00-00:0005520表二模型IV：表二中不加班工作人数、要加班人数、开始工作人数的分布分别用图表示如下：通过该工作时间调度表，我们可得知：在凌晨0：00到早上4：00开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）和下班的人数有29人，所占比例为36.25%。为求得更为合理的工作时间调度表，对模型III进行改进，以凌晨0：00到早上4：00这段时间开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）的下班的人数最少为目标函数。为此本文做与模型II类似的定义：分别表示第个时段开始工作的护士人数中不需要加班的人数与第个时段开始工作的护士人数中需要加班的人数；(第1时段为0002，第2时段为0204第12时段为1012)，；当（）中等于0、-1、-2、-3时，分别表示第12、11、10、9个时段开始工作的护士人数中不需要加班的人数；当（）中等于0、-1、-2、-3时，分别表示第12、11、10、9个时段开始工作的护士人数中需要加班的人数。护士在凌晨0：004：00开始上班和下班的人是由第1、2、3、8、9、10个时段开始工作的不需要加班护士与第1、2、3、7、8、9、10个时段开始工作的需要加班护士人组成，因此在满足医院各个时段护士需求的条件下，在模型III的基础上不改变医院现有80名护士，并且最少需要40名护士加班的条件下，对护士的满意度可建立模型IV。模型如下：利用软件求解，得到第1时段（00：0002：00）开始上班的人数为5人。即在凌晨0：00到早上4：00开始上班（包括要加班的护士和不加班护士）和下班的总人数为5人，占总人数的6.25%（具体数据如下表三所示）。在模型III求得的结果上有一定的改进，能降低护士对工作时间安排的不满意度，有较大的可取性。时间段不加班工作人数要加班人数开始工作人数总工作人数00:00-02:005051502:00-04:000001504:00-06:000002006:00-08:00100103508:00-10:00105154010:00-12:001015254012:00-14:005054014:00-16:000004016:00-18:000003118:00-20:000003520:00-22:00010103022:00-00:000101020表三六 模型的讨论与灵敏度分析模型的讨论：本文建立了四个模型，模型I和模型III运用了整数规划模型解决了在满足需求时所需护士人数最少和加班人数最少的问题。模型II和模型IV在考虑护士工作满意程度和在医院所需护士人数最少和加班人数最少的情况下，分别对模型I、III改进后，进一步得到更为合理的工作时间安排表。以上四个模型假设了每名护士在且连续工作4小时后只能休息2小时，在休息2小时后连续工作。在实际工作中，护士在工作时间内，可能会有特殊情况需要请假；护士上班时间不连续；或者是有突发事件导致所需护士人数增加。考虑以上因素，可建立一个工作时间不连续的整数规划模型，用枚举法可得出在工作时间不连续的情况下的最优人数与工作时间安排。灵敏度分析：本文中对模型结果产生影响的因素主要是：各个时段所需的护士人数、医院护士人数最少（100）、医院护士人数限定（80）、最少加班人数（40）。1、模型II对各个时段所需的护士人数和医院护士人数最少的灵敏度分析医院各个时段所需的护士人数是此模型的重要因素，各个时段所需的护士人数的多少直接影响着医院所需护士的总人数、护士工作时间调度；而医院护士人数最少是护士工作时间调度和满意度的主要因素。在医院护士人数最少为100时，各个时段所需的护士人数和医院护士人数最少对护士工作时间调度和满意度作灵敏度分析，解得值如下表：时段号时段所需的护士人数变化区间100am-02am155，30202am-04am155，35304am-06am150，25406am-08am3530，35508am-10am4030，40610am-12pm4035，40712pm-02pm400，55802pm-04pm300，55904pm-06pm310，351006am-08pm3525，351108am-10pm3025，301210pm-12am200，20护士人数100100，105由此可知：所需的护士人数在以上区间内，对医院所需护士人数的影响较小；护士人数增加至105人时，可使所有护士都不在凌晨0：00到早上4：00这段时间内开始上班和下班，即护士对工作时间安排满意度最高。2、模型IV对各个时段所需的护士人数、医院护士人数限定以及最少加班人数的的灵敏度分析对模型IV中医院各个时段所需的护士人数同样是此模型的重要因素，医院所需护士的总人数和最少加班人数是护士工作时间调度和满意度的主要因素。在医院护士人数为80和最少加班人数为40时，各个时段所需的护士人数、医院护士人数以及最少加班人数对护士工作时间调度和满意度作灵敏度分析，解得值如下表：时段号时段所需的护士人数变化区间100am-02am1515，23202am-04am155，15304am-06am150，20406am-08am3532，35508am-10am4040，40610am-12pm4040，40712pm-02pm400，45802pm-04pm3025，35904pm-06pm310，351006am-08pm3535，351108am-10pm3030，301210pm-12am200，20护士人数8080，40最少加班人数4040,40由此可知：所需的护士人数在以上区间内，对医院需要加班人数的影响较小；在护士人数不变的情况下,当加班人数变为42时,只能使在凌晨0：00到早上4：00这段时间内开始上班和下班的护士人数减少1名，因此,改变护士加班人数,对护士对工作时间安排满意度改变较底；而当护士加班人数不变时，医院护士人数增为85人时可使所有护士都不在凌晨0：00到早上4：00这段时间内开始上班和下班。因此，医院可考虑新引进5名护士，即可使护士对工作时间安排满意度最高。七 模型的评价与推广优点：所建模型简单，通俗易懂，并为求得更为合理的时间工作调度表，我们对模型I、III都进行了改进，有较强的实用性；利用软件，算法简便,编程实现简单,推广容易，运筹学的题目到都可以用整数规划模型解决；增强和减弱约束条件后能运用到各个方面的员工工作时间调度问题上，如减弱约束条件，工作日为早上9点到晚上9点，分为6个时间段，所建模型就可解决超市工作人员的时间调度问题。 缺点：所建模型是建立在假设每名护士在且连续工作4小时后只能休息2小时，在休息2小时后连续工作的基础上。有一定的不合理度。因为在实际生活中，护士工作4小时后，在工作人员充足的情况下，该护士可以休息多个小时再工作接下来的4小时。这样就更贴近实际生活。 推广：像这类问题在实际中经常碰到，例如实验室工作人员和商场的工作人员值班的问题；生产过程中在制品库存问题，都可建立类似的线形规划模型。参考文献：1 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。2 何坚勇，最优化方法，北京：清华大学出版社，2007。3 赵静 但琦，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2000。4 董臻圃，数学建模方法与实践，北京：国防工业出版社，2006。5 牛映武，运筹学，陕西：西安交通大学出版社，1994。附表：程序1：model:sets:sjd/1.12/:x;endsetsdata:enddatamin=sum(sjd:x);x(1)+x(9)+x(10)+x(12)15;x(1)+x(2)+x(10)+x(11)15;x(2)+x(3)+x(11)+x(12)15;x(1)+x(3)+x(4)+x(12)35;x(1)+x(2)+x(4)+x(5)40;x(2)+x(3)+x(5)+x(6)40;x(3)+x(4)+x(6)+x(7)40;x(4)+x(5)+x(7)+x(8)30;x(5)+x(6)+x(8)+x(9)31;x(6)+x(7)+x(9)+x(10)35;x(7)+x(8)+x(10)+x(11)30;x(8)+x(9)+x(11)+x(12)20;x(11)=15;for(sjd:gin(x);程序2：model:sets:sjd/1.12/:x;endsetsdata:enddatamin=x(1)+x(2)+x(3)+x(10)+x(9)+x(8);x(1)+x(9)+x(10)+x(12)15;x(1)+x(2)+x(10)+x(11)15;x(2)+x(3)+x(11)+x(12)15;x(1)+x(3)+x(4)+x(12)35;x(1)+x(2)+x(4)+x(5)40;x(2)+x(3)+x(5)+x(6)40;x(3)+x(4)+x(6)+x(7)40;x(4)+x(5)+x(7)+x(8)30;x(5)+x(6)+x(8)+x(9)31;x(6)+x(7)+x(9)+x(10)35;x(7)+x(8)+x(10)+x(11)30;x(8)+x(9)+x(11)+x(12)20;sum(sjd:x)=100;for(sjd:gin(x);程序3：model:sets:jb/1.12/:x,y;endsetsdata:enddatamin=sum(jb:y);y(8)+x(1)+y(1)+x(9)+y(9)+x(10)+y(10)+x(12)+x(12)15;y(9)+x(1)+y(1)+x(2)+y(2)+x(10)+y(10)+x(11)+y(11)15;y(10)+x(2)+y(2)+x(3)+y(3)+x(11)+y(11)+x(12)+y(12)15;y(11)+x(1)+y(1)+x(3)+y(3)+x(4)+y(4)+x(12)+y(12)35;y(12)+x(1)+y(1)+x(2)+y(2)+x(4)+y(4)+x(5)+y(5)40;y(1)+x(2)+y(2)+x(3)+y(3)+x(5)+y(5)+x(6)+y(6)40;y(2)+x(3)+y(3)+x(4)+y(4)+x(6)+y(6)+x(7)+y(7)40;y(3)+x(4)+y(4)+x(5)+y(5)+x(7)+y(7)+x(8)+y(8)30;y(4)+x(5)+y(5)+x(6)+y(6)+x(8)+y