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,第三节,一、利用直角坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第八章,引入：底是矩形的曲顶柱体的体积,在区间上任意取定一点 ， 作平行于yoz面的平面, 截面是一个以 区间为底, 曲线 为曲边的曲边梯形, 其面积为 任意一点处的横截面积,该曲顶柱体的体积为,根据二重积分的几何意义, 有,综上两个表达式可得,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,（2)若积分区域既是X型区域又是Y型区域 ,则有,(1) X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,说明:,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,例1. 计算,其中D 是直线 x0, x1,y0, 及,y1 所围的闭区域.,解. 将D看作X型区域, 则,例2. 计算,其中D 是直线 y0, x0, 及,x2+y2=1 所围的第一象限区域.,解将D看作X型区域,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:,取D 为X 型域,取D 为Y 型域:,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,例4. 用二重积分,所围成的闭区域的面积.,解:,由二重积分性质知：,例5.,解：,法1. 将D看作X型区域,法2. 将D看作Y型区域,例6.,解：,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,例7,解：,法1. 将D看作X型区域,法2. 将D看作Y型区域,例8. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,例9. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例10. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,备用题. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,二重积分计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分
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