线性系统的时域分析法.ppt

第3章 线性系统的时域分析法,本章主要内容与重点 典型响应的性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 控制系统的稳定性和代数判据 稳态误差的分析和计算,本章主要内容,本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。,本章重点,通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误差系数的求取等内容。,.1 典型响应和性能指标,一.典型初状态,二典型外作用 1 单位阶跃1（t）,图3.1 典型外作用,1 t=0,0 t0,2.单位斜度t*1(t),t*1(t)=,t t=0,0 t0,0 t 0,3.单位理想脉冲,4正弦asint,且, t=0,（t）=,L(t)=1,三 典型时间响应 1. 单位阶跃响应 （s）*R(s)=(s)*1/s h(t)=L-1 (s)*1/s 2. 单位斜坡响应 Ct(s)= （s）*R(s)= (s)*1/s Ct (t)=L-1 (s)*1/s2 3. 单位脉冲响应 K(s)= （s）*R(s) =（s）*1=（s） K(t)=L-1(s),四阶跃响应的性能指标,图3.2 单位阶跃响应曲线及性能指标,、峰值时间tp 指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所需时间。 、超调量% 指暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。,、调节时间ts 指当c（t）和c（）之间误差达到规定允许值（一般取c（）的，有时取）并且以后不再超过此值所需的最小时间。 、稳态误差ss 对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统的单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与期望值（即输入量（t）之差，定义为稳态误差，即 ss =1-(),3-2 一阶系统分析 1. 数学模型,图3.3一阶系统典型结构,（s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1),一阶系统微分方程,一 单位阶跃响应,图3.4一阶系统单位阶跃响应曲线,响应曲线的初始斜率,%=0 ts=3T(对应5%误差带) ts=4T(对应2%误差带) ess=1-h()=1-1=0,性能指标,三,解： 1. ts=3T=3*0.1=0.3秒 2.,例3.1 一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调节时间ts.如果要求ta=0.1秒，试问系统的反馈系统应调整为何值？,T=0.01/ KH ts=3T=0.03/ KH 0.1=0.03/ KH KH=0.3,图3.5 系统结构图,-,例3.2 试 证一阶响应曲线的次割距相等，且等于T。,tB- tA=T,图3.6一阶系统响应的次割距,证：,3-3二阶系统分析 1. 数学模型,1. 单位阶段响应h(t)的一般式,C1=n2/( s1 -s2)s1; C1=n2/( s2 -s1)s2,图.二阶系统动态结构,则单位阶跃响应一般式,-,二阶系统的响应特点和特征根的性质 1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根。 =1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-n 01称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的共轭复数。 =0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特征根 0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。,1. 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,图3.8过阻尼二阶系统h(t)曲线,=0.7,5%误差带,四 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应 s1,2= -n,欠阻尼二阶系统的动态性能分析,在图中称为阻尼角,无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算公式 （1）延迟时间 的计算,在绘制出 ntd 和 之间的关系曲线，利用曲线拟合方法，当阻尼比在欠阻尼时,或,（2）上升时间 的计算,（3）峰值时间 的计算,（4）超调量 的计算,根据超调量的定义，并考虑到,P.83 图3-13 给出了欠阻尼二阶系统阻尼比与超调量之间的关系。 （5）调节时间 的计算 为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实际响应估算调节时间。,在 ，误差带 时，可用以下近似估算公式：,也可以用以下公式估算：,二阶系统单位阶跃响应的性能指标归纳如下：,或,实际上，上述各项性能指标之间的存在矛盾，例如上升时间（响应速度）和超调量（阻尼程度或相对稳定性）,过阻尼二阶系统的动态过程分析,过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的系统过阻尼响应是不希望的。 但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性： 例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。 （2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间响应尽可能快。 另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。,过阻尼,动态性能指标：延迟时间、上升时间、调节时间 因为求上述指标，要解一个超越方程，只能用数值方法求解。利用曲线逆合法给出近似公式,（1）延迟时间 计算,（2）上升时间 计算 p.86 图3-16,（3）调节时间 计算 p.86 图3-17,例：角度随动系统如图所示，设 K 为开环增益， T=0.1 (s)为伺服电动机的时间常数。 若要求：单位阶跃响应无超调，而且 ，求K的取值、系统的延迟时间和上升时间,解：因为考虑系统尽量快的无超调响应，则可选阻尼比为临界阻尼,二阶系统的单位斜坡响应,（1）欠阻尼单位斜坡响应,（2）临界阻尼单位斜坡响应,（3）过阻尼单位斜坡响应,P.89 例3-3,（1）改变开环增益就相当于改变了系统阻尼比，单位阶跃响应的超调量和单位斜坡响应稳态误差对阻尼比的要求正好相反，难以折衷； （2）若能选择某个开环增益，满足稳态与动态要求，但难以满足扰动作用下的稳态误差要求； （3）在有些系统不能降低系统的开环增益来换取较小的超调量。,二阶系统性能的改善,改善二阶系统性能的两种方法：比例-微分控制 测速反馈控制 （1）比例-微分控制,以角度随动系统为例 (a)比例控制 0，t1) 系统阻尼小，修正转矩过大；输出超调 t1 , t3) 转矩反向，起制动作用，但惯性与制动转矩不够大，仍超调 t3 ,t5) 误差又为正，修正转矩又为正，力图使输出趋势减小 (b)控制措施：附加误差的微分量 0，t2) 内减小正向修正转矩，增大反向制动转矩； t2 , t4) 内减小反向制动转矩，增大正向修正转矩,理论分析：比例-微分控制对系统性能的影响,有零点二阶系统,比例-微分控制不改变系统的自然频率，但增大了系统的阻尼比。 适当选择开环增益和微分时间常数，既可减小系统斜坡输入时的稳态误差，又可使系统具有满意的阶跃响应性能。,P.92 给出了：（1）求上升时间的关系曲线； （2）峰值时间；（3）超调量；（4）调节时间,结论：（1）微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间； （2）允许选取较高的开环增益，减小稳态误差； （3）微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。,（2）测速反馈控制,开环增益,结论：（1）测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率； （2）测速反馈不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的； （3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。 P.94 例 3-5 给出无测速反馈和有测速反馈控制的性能指标 P.95 给出比例-微分控制与测速反馈控制的各自的优缺点,3-4 控制系统的稳定性和代数判据,一.稳定性的定义 如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到 点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。,如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。 定义:若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。 我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。,二.稳定的充要条件 设系统的闭环传递函数为:,由于系统的初始条件为零,当输入一个理想的单位脉冲(t)时,则系统的输出便是单位脉冲过渡函数k(t),如果 ,则系统稳定。 若 是线性系统特征方程 的根,且互不相等,则上式可分解为,式中 则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡函数为 欲满足 ,则必须各个分量都趋于零。式中 为常数,即只有当系统的全部特征根 都具有负实部才满足。,稳定的充要条件是:系统特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的虚轴之左。 特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。,三.劳思稳定判据 不必求解特征方程的根,而是直接根据特征方程的系数,判断系统的稳定性,回避求解高次方程的困难。 1.系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大于0.只要有一项等于或小于0,则为不稳定系统。 充分条件:Routh表第一列元素均大于0。,2.Routh表的列写方法 特征方程为 则Routh表为(在下页中),则系统稳定的充要条件:劳思表中第一列元素全部大于0。若出现小于0的元素,则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。 例:,则系统不稳定,且有两个正实部根。（即有2个根在S的右半平面。 一次方程: a1,a0同号则系统稳定。 二次方程: a1,a2,a0同号则系统稳定。 三次方程: a0,a1,a2,a3均大于0,且a1a2a3a0,则系统稳定。,3 劳思判据应用,（1）劳思表不但可判断系统的稳定性， 而且可以选择使系统稳定的调节器参数 的数值(分析参数对稳定性的影响)。 （2）利用劳思表能判断特征根的位置 分布情况。,例1 试分析系统结构参数对稳定性的影响,系统的闭环传递函数为 式中，Kk为系统的开环放大系数。,解：系统特征方程为,列劳斯表，整理得,假设T1=T2 =T3 ，则使系统稳定的临界放大系数Kk为=8。 如果取T2=T3 ，T1= 10T2 ， 则使系统稳定的临界放大系数变为Kk=24.2。 由此可见，将各时间常数的数值错开，可以允许较大的开环放大系数。,例2:结构图如图所示,试分析取何值能保证系统稳定.,解:求系统特征方程,建立劳思表:,根据劳思判据,要保证系统稳定,劳思表第一列的系数应大于0.,例3:系统结构如下图所示,求能保证系统稳定的局部反馈系数kf的数值。,系统结构图,方法 1:,特征方程:,即:,根据劳思判据 kf0,另一种方法:,系统特征方程:,根据劳思判据 kf 0,例4 确定系统稳定的K、T值。 解: 系统的特征方程为 列出劳斯表 要使系统稳定，第一列元素 的符号均应大于零。由此得 则稳定条件为：, 0 K ,例5：设系统特征方程为 ，试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线 与虚轴之间。 解：列出劳斯表。劳斯表第 一列无符号变化，所以系统稳定。 令 代入原特征方程， 得到如下特征方程： 劳斯表中第一列元素 符号变化一次，所以 有一个特征方程根在 垂线右边。,例6:已知系统的特征为: 试判断使系统稳定的k值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左。问k值应如何调整?,解:特征方程化为: 列劳思表:,所以使系统稳定的k值范围是 若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程,得: 整理得:,列劳思表: 第一列元素均大于0,则得:,4.两种特殊情况 情况1:劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数代替某一行第一个为0的元素。然后继续劳思表计算并判断。 例:,当很小时, 则系统不稳定，并有两个正实部根。 情况2:劳思表中第k行元素全为0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异,虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。,此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。 (1).用k-1行元素构成辅助方程. (2).将辅助方程为s求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳思表。 例:系统的特征方程为：,列劳思表: 列辅助方程,第一列符号改变一次,有一个正实部根,系统不稳定。,解辅助方程 得： 解得符号相异，绝对值相同的两个实根 和一对纯虚根 可见其中有一个正 实根。,3-5 稳态误差的分析和计算,稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统性能的重要指标。 一.误差和稳态误差 1.定义: e(t)为系统误差,Cr(t)为希望输出,c(t)为实际输出。,稳态误差: 系统的静态误差与系统的结构有关,还与输入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。,2.稳态误差的计算 (1).拉氏变换的终值定理 当输入信号为 时,可用终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输入时不能应用此定理。 (2).根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数,b.误差响应的象函数 c.误差响应的原函数 d.求极值 即为稳态误差。 如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系统误差的求法如下：,为系统对输入信号的误差传递函数, 为系统对扰动信号的误差传递函数。 则: 例:已知系统的结构图如下,试求系统在输入信号r(t)=t和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下系统的稳态误差ess,解:理想情况偏差信号E(S)0， 则系统在输入信号作用下的希望输出为：,对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。 系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为:,则R(s)和N(s)引起的系统误差为:,在本题中,首先要判断系统的稳定性,如果系统不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为:,即: 所以系统稳定。 根据推导出的公式:,系统的误差与系统的结构有关,还与外作用(输入信号,扰动)的大小及形式有关。,二.输入信号作用下系统稳态误差的分析 只有输入信号作用时,系统的误差为: 假设系统为单位反馈,则,开环传递函数,当=0,1,2分别称为0型系统,型系统,型系统(一般不大于2) 则,将kp,kv,ka定义为稳态误差系数。 阶跃输入下用kp 表示 为位置误差系数。 速度输入下用kv表示 为速度误差系数。 加速度输入下用ka表示 为加速度误差系数。,前提:单位反馈H(s)=1,提高系统的型别,增大系统的开环增益,都会提高系统的精度,但这样又会降低稳定性,必须综合考虑。 例:某控制系统的结构图为 试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。,解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为 则系统稳态误差 当H(s)=0.5时,若上列在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少? 当 时,上例的稳态误差又是多少? 因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=,三.扰动作用下系统稳态误差的分析 理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。 如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s)作用时,系统误差为:,扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引起的稳态输出的负值,它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作