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文档简介

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十讲 一元微积分的应用(六), 微积分在物理中的应用,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.,第四节 二阶常系数线性微分方程,一、高阶线性微分方程的一般理论,二、二阶常系数齐线性微分方程的解,三、二阶常系数非齐线性微分方程的解,一、高阶线性微分方程的一般理论,n 阶线性方程的一般形式为,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。,1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构,(1) 叠加原理,的解，则它们的线性组合,也是方程 (2) 的解，,证,的解，则它们的线性组合,也是方程 (2) 的解。,在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？,(2) 线性无关、线性相关,证,由三角函数知识可知，这是不可能的，故,证,(3) 二阶齐线性微分方程解的结构,的两个线性无关的解，则,是方程 (2) 的通解。,解,又容易看出：,而,由叠加原理，原方程的通解为,代入方程中，得,即,故有,两边积分，得,为原方程的通解。,则,解,由刘维尔公式,故原方程的通解为,2. 二阶非齐线性微分方程解的结构,(1) 解的性质,的一个特解，则,是原方程的一个特解。,的一个特解，则,是方程,的一个特解。,是其对应的齐方程,的一个特解。,的一个特解。,可以直接验证性质1性质4 。,如何求特解？,的通解，则,是方程 (1) 的通解。,则有,令,以下推导的前提,于是,对上式两边关于 x 求导，得,即,联立 (3)、(4) 构成方程组,解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到,解,该方程所对应的齐方程为,它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为,由常数变易法，解方程组
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