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1,一个幂级数,3 泰勒级数,在其收敛圆内,反过来,在一个圆内,可以展开成,D,设函数,在区域D内,作正向圆周K:,z是K内任何一点,根据柯西积分公式,根据高阶积分公式,正向圆周K,可以增大,但整个圆周K,完全在D内,半径R,z0到D的边界的,最短距离,的和函数,解析,解析的函数,幂级数,解析,的半径R,及其内部,最好等于,2,定理4.16,设函数,在区域D内,R等于,z0到D的边界,的最短距离,则在圆内:,能够展开成,该公式,在z0的泰勒展开式,将函数,其方法有两种:,直接法、,但结果,的所有奇点中,若,离z0最近,则,解析,泰勒级数:,称为,展开成幂级数,间接法,只有一个.,的奇点为z1,3,几个重要函数的幂级数,4,例1,将下列函数,z的幂级数,(1),并指出它们,(1) 解,(2),(2) 解,展开成,的收敛半径,5,重要的幂级数,两边求导,再求导,6,重要的幂级数,积分,求导,7,例2 (1),求函数,处的泰勒展开式,并指出其成立的范围,在,解,8,例2 (2),求函数,处的泰勒展开式,并指出其成立的范围,在,解,9,例2 (3),求函数,处的泰勒展开式,并指出其成立的范围,在,解,10,例2 (4),求函数,处的泰勒展开式,并指出其成立的范围,在,解,11,71页零点,设,处解析,在,如果,则称,为,的m阶零点,定理4.18,为,的m阶零点,其中,处解析,在,设,是,非零解析函数,证明,处,在,的泰勒级数,若,为,的m阶零点，,则,其中,处解析,在,反过来,若,则,12,例3,为,的几阶零点,解,是解析函数,为,的五阶零点,解法2,13,85页9.,求证,证明,如果,为,的m阶零点,那么,为,的 (m 1)阶零点,根据条件得到,其中,处解析,在,其中,处解析,在,处解析,在,因此,为,的 (m 1)阶零点,14,例4 (1),求函数,处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径,解,需要用公式,在,15,例4 (2),求函数,处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径,解,在,16,例4 (3),求函数,处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径,解,在,需要用公式,两边求导数得到,17,例4 (4
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