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第三节 初等函数,一、指数函数,二、对数函数,三、乘幂 ab 与幂函数,四、三角函数和双曲函数,五、反三角函数和反双曲函数,六、小结与思考,2,一、指数函数,1.指数函数的定义:,3,指数函数的定义等价于关系式:,4,5,2. 加法定理,证,6,例3,解,7,二、对数函数,1. 定义,8,其余各值为,9,例4,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,10,例5,解,11,例6,解,12,13,2. 性质,14,证 (3),证毕,15,三、乘幂 与幂函数,1. 乘幂的定义,注意:,16,17,特殊情况:,18,19,例7,解,答案,课堂练习,20,2. 幂函数的解析性,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,21,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,22,四、三角函数和双曲函数,1. 三角函数的定义,将两式相加与相减, 得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,23,24,有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,25,(注意：这是与实变函数完全不同的),26,其他复变数三角函数的定义,27,2. 双曲函数的定义,28,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以 为周期的周期函数,29,五、反三角函数和反双曲函数,1. 反三角函数的定义,两端取对数得,30,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:,2. 反双曲函数的定义,31,六、小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:,1. 指数函数具有周期性,2. 负数无对数的结论不再成立,3. 三角正弦与余弦不再具有有界性,4. 双曲正弦与余弦都是周期函数,32,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,33,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是
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