辛普生法则在公路匝道中.pptVIP

辛普生法则在公路匝道中及 边桩坐标计算中的应用,目前在公路匝道中、边桩计算中采用的计算公式较多，但大部分采用泰勒级数展开公式进行计算。当在不同曲线元上计算就需要用不同的计算公式，这给使用普通计算器计算带来很大不便。当遇有卵形曲线或缓和曲线的圆曲线半径较小时，往往因公式选用不当带来计算误差，虽然泰勒级数展开公式可以进行多项次展开，但公式过于繁杂，同时也会增加计算难度。而采用辛普生法则进行计算就非常简便，该公式可以适用于任意的直线段、圆曲线段、缓和曲线段上中、边桩，并且其计算是可逆的。下面就该法则在公路工程测量计算中的具体应用进行解析。,一、曲线元上任意点的切线方位角推导 曲线平面线形组合大致分基本型、S型、卵形、凸形、复合型和C型等，无论哪种组合型式，其平面线形计算的复杂性均主要体现在缓和曲线的计算上。 1、卵形曲线中的缓和曲线,如图（1），在半径分别为R1、R2（R1 R2）的两段圆曲线之间插入缓和曲线段AQB，设曲线MAQB为一段缓和曲线。M、A、B的半径分别为、R1、R2，切线分别为ME、AJ、BF；CAQ1是半径为R1的圆弧段并在A点与缓和曲线公切，Q2BD是半径为R2的圆弧段并在B点与缓和曲线公切。令MA=L1，MB=L2， LSL1L2。 缓和曲线参数为：A2=R1R2 LS /（R1-R2） 公式（1） 则有：L1= A2/ R1= R2LS /（R1R2）； L2= A2/ R2= R1LS /（R1R2）； A=L12/2A2R2LS/（2R1（R1R2）；BL22/2A2R1LS/（2R2（R1R2）； 可以推出：=B -A (1/R1+1/R2)LS/2 公式（2） （：缓和曲线AB段转向角。,对于曲线元上任意点P，P点处曲率半径为1/Rp，该点处转向角为P ，曲线元起点A到P点的弧长为L，根据式（2）有： P（1/R1+1/RP) L /2 (3) 由式（1）得：（R1LA2）RPR1A2，可以求得1/RP1/R1L/A2；将1/RP代入式（3）得： PL/R1L2（1/R21/R1）/（2LS） 公式 (4) 故缓和曲线上任意一点P的切线方位角： TPTAPTA（L/R1L2（1/R21/R1）/（2LS） 公式(5) 2、其它曲线元 对于基本型缓和曲线，R1（或R2）代入式（4）得：PL2/（2R2LS）；与我们常用公式一样。对于圆曲线段，R1R2，代入式（4）得：PL/R1；与我们常用公式一样。对于直线段，R1 R2，代入式（4）得：P0。,因此可以得出这样的结论：任何曲线元上任意一点的切线方位角均可以用式（5）进行计算。 二、中、边桩坐标计算 1、使用辛普生积分法则进行计算 方位角TPTAPTAK(L/R1L2（1/R21/R1）/（2LS）)； (方位角TP计算结果为弧度；K为判断符，左偏取1，右偏取1)。 中桩坐标为：XPXA0L cos（T）dx 公式（6） YPYA0L sin（T）dx 公式（7） casio fx-4800p等计算器具有积分功能，其计算采用了辛普生法则进行积分计算，式（6）和式（7）转换成计算器计算模型为： XPXA（cos(TAK(L/R1L2(1/R2-1/R1)/(2LS)，0，L,n)； YPYA（sin(TAK(L/R1L2(1/R2-1/R1)/(2LS)，0，L,n)。 式中n为19的整数，积分分割数N=2n，其他符号意义同上述。,值得注意的是，按此公式在计算器中编计算程序时，各种计算器将使用某些变量储存数据，例如casio fx-4800p使用(K,L,M,N)分别储存积分区间、分割数、积分值，这几个变量在编程中不能使用；另外计算时要将计算器角度变换到弧度状态。 本公式可以适用于直线、圆曲线、缓和曲线等一切曲线元计算，是一项综合性公式。 2、casio fx-4800p程序 程序名：L-R （中、边桩坐标及切线方位角计算） Prog “Y-S” Q=Z10(T1)+1 E=Z10(T1)+2 F=Z10(T1)+3 A=Z10(T1)+4 C=Z10(T1)+5,J=Z10(T1)+6 O=Z10(T1)+7 S=Z10(T1)+8 P=AbsHQ P P=P = Goto 2: Lbl 2 PS = P=P = Goto 1: Lbl 1 A=A/180 W=A+C(JP+P2(O-J)/2/S) U=E+(cos(A+C(JX+X2(O-J)/2/S),0,P,4)+Bcos(W+Z/180) V=F+(sin(A+C(JX+X2(O-J)/2/S),0,P,4)+Bsin(W+Z/180),程序中：T为第几段曲线元编号，Q、E、F、A、C、J、O、S、P代表的变量与程序“Y-S”中含义相同，H为曲线元上任意点的里程，P为曲线元上任意点至曲线元起点的里程差值，C为计算符曲线元左偏为1右偏为1，B为边桩点至中线距离均为正，Z为待求点和中桩的连线与路中线切线方位角夹角，左 右，输入度分秒；W为曲线元上任意点的切线方位角成果为弧度； U、V分别为边桩纵横坐标值，当输入B0时为中桩坐标值。 程序名：Y-S （曲线要素输入） 曲线元T Z10(T1)+1起点桩号里程 Z10(T1)+2起点X坐标 Z10(T1)+3起点Y坐标 Z10(T1)+4起点切线方位角，输入度分秒 Z10(T1)+5右偏1；左偏1 Z10(T1)+61/起点半径,Z10(T1)+71/终点半径 Z10(T1)+8终点里程起点里程 以起点桩号里程为例：第一段T1，Z1*.*；第二段T2，Z11*.*。 3、casio fx-4500p程序 L1：Q”CH0”：E”X0：F”Y0”：A”T0”：C”K0”：M”1/R1”：O”1/R2”：S”LS” L2：P=AbsNQ L3：P P=P L4：= Goto 2: L5：Lbl 2 L6：PS = P=P L7：= Goto 1: L8：Lbl 1 L9：T=A/180+C(MP+P2(O-M)/2/S) L10：W=T180/ L11：U=E+(cos(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bcos(T+Z/180) L12：V=F+(sin(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bsin(T+Z/180),Z10(T1)+71/终点半径 Z10(T1)+8终点里程起点里程 以起点桩号里程为例：第一段T1，Z1*.*；第二段T2，Z11*.*。 3、casio fx-4500p程序 L1：Q”CH0”：E”X0：F”Y0”：A”T0”：C”K0”：M”1/R1”：O”1/R2”：S”LS” L2：P=AbsNQ L3：P P=P L4：= Goto 2: L5：Lbl 2 L6：PS = P=P L7：= Goto 1: L8：Lbl 1 L9：T=A/180+C(MP+P2(O-M)/2/S) L10：W=T180/ L11：U=E+(cos(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bcos(T+Z/180) L12：V=F+(sin(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bsin(T+Z/180),Q：起点桩号；E：起点X坐标；F：起点Y坐标；A：起点切线方位角（度分 秒）；C：转角系数 左1 右1；M：1/起点半径；O：1/终点半径；S：单元曲线长度；H：曲线元上待求点里程；B：距中桩距离均为正；Z：为待求点和中桩的连线与路中线切线方位角夹角，左 右，输入度分秒 成果：W待求点切线方位角；（U,V）待求点中边桩坐标 三、算例 该计算程序以无锡通江大道项目立交工程线形计算为例。 1、立交桥平面概况 无锡通江大道立交范围内江海路、通江大道平面线形各有一折点，平曲线最小半径分别为400m、1500m，立交总体布置为三层部分互通式立交，江海路高架为第三层，通江大道跨线桥为第二层，地面道路为第一层，四条转向匝道及两条上下江海路匝道分别连接一、二层及二、三层。匝道平曲线最小半径60m，缓和曲线最小长度35m，分别为A、B、EN、NE、WN、NW六条匝道。立交范围内江海路全长1117m ,通江大道全长1075。,2、中线计算 (1)设计单元要素 现取WN匝道作为算例，其设计单元要素见图（2）及表一。,表一：WN匝道部分曲线主点设计数据 （2）4800计算程序运行 根据1.1节公式（1）A2=R1R2 LS /（R1-R2）对设计单元要素进行复算，均正确无误，其具体计算略。现将WN匝道曲线要素代入本程序分别进行各曲线元的曲中点的中、边桩计算。将曲线单元要素输入4800程序“YS”中，具体见表二。,表二：WN匝道中部分曲线元曲线要素 运行4800程序“LR”时需要注意两点：第一点，程序运行前要进行扩容，方法为“shift”“defm”“需要扩容数”；第二点，角度调换到“rad”状态。 运行过程如下：运行过程如下 中桩 左15m 右15m T ? 1 T ? 1 T ? 1 H ? 279.093 H ? 279.093 H ? 279.093 B ? 0 B ? 15 B ? 15 Z ? 0 Z ? -90 Z ? 90 U=48131.203 U=48142.444 U=48119.963 V=79112.909 V=79122.842 V=79102.977 ,其它点计算成果见表三。 表三：计算结果 3、4500计算程序运行 根据公式（1）A2=R1R2 LS /（R1-R2）对设计单元要素进行复算，均正确无误，其具体计算略。现将WN匝道曲线要素代入本程序分别进行各曲线元的曲中点的中、边桩计算。 运行4500程序时同样需要将角度调换到“rad”状态（按”model 5”）。 运行过程如下:,中桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.235 T0? 1414700.8 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ? 0 Z ? 0 U=48131.203 V=79112.909 左边桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.235 T0? 1414700.8 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ?15 Z ? 90 U=48142.444 V=79122.842 中桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.235 T0? 1414700.8 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ? 15 Z ? 90 U=48119.963 V=79102.977 其他计算结果同上表三。 4500与4800的最大区别在于4800使用(K,L,M,N)分别储存积分区间、分割数、积分值，4500使用（G,H,I,J,K,L）储存积分数据；另外4500积分运行速度较慢。,当从直线过渡到缓和曲线（或缓和曲线向直线过渡），设计的缓和曲线有些情况下会舍掉一段曲线，此时一定要根据1.1节公式（1）A2=R1R2 LS /（R1-R2）计算出设计的直缓点（缓直点）处的半径，将计算出的半径代入本程序进行计算即可。 这里直线段的计算就不再举例，但计算方法同样适用于直线段。可以说，本计算程序是适用于任何曲线线形中、边桩坐标计算的。 四、复化辛普生公式 若使用没有积分功能的计算器或电脑进行计算时，我们可以利用复化辛普生公式进行计算。 1、复化辛普生公式 曲线元任意点P的中桩坐标计算公式如下： 切线方位角同公式（5）：TPTAPTAL/R1L2（1/R21/R1）/（2LS）；,公式（8） 式中 为曲线元上2n等分处的切线方位角， 为曲线元上n等分处的切线方位角，其它变量符号意义同式（5）、（6）、（7）， 、 计算方法同P点切线方位角计算。 2、算例 仍以通江大道WN匝道为例进行中桩坐标计算，以YH2点为起点，推算QZ、HY3的中桩坐标。曲线元上各等分点的切线方位角计算采用公式（5）。,表四：曲线元上等分点切线方位角计算表 将各等分点的切线方位角代入公式（8），求得YH3点的中桩坐标如下: XHY3=48116.828+(342.779-303.404)/4/6(cos121o0850.1“+4(cos118 o 3926.44“+cos113 o 0343.4“+cos106 o3846.04+cos99 o 2434.4“)+2(cos115 o 5744.2+cos109 o 574“+cos103 o 0749.55)+cos95 o 2900.7) =48101.996,YHY3=79132.474+(342.779-303.404)/4/6(sin121o0850.1“+4 sin 118 o 3926.44”+ sin 113 o 0343.4“+ sin 106 o3846.04+ sin 99 o 2434.4”)+2( sin 115 o 5744.2+ sin 109 o 574“+ sin 103 o 0749.55)+ si