隐函数、参数方程表示的函数求导.ppt

,应 用 高 等 数 学 （06级融资理财1班）,主讲：彭如海教授 岭 南 学 院 江 苏 科 技 大 学,第9讲 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数,一、授课时间：20074173、4节 二、教学目的要求： 在复习巩固上节显函数 导数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与参数方程确定的函数的求导方法。 三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的求导； 教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。 四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。 五、教学手段：多媒体适当板书。,继续【22】课堂练习,课堂练习： 习题22 ）2（14）,复习：导数公式与求导法则,1、基本导数公式 2、求导法则 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则,1、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,2、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,注：以上公式与法则是针对 显函数而言的。,易知函数用解析法表示的方法有：,【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则） 【2】隐函数 【3】用参数方程表示的函数，即 问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？,第9讲 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数,【1】23 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 【2】总结 【3】课堂练习,【1】23 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的 函数的导数,第二章 导数与微分,三、对数微分法,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,解,解得,课堂练习1例2。30,设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定函数 y = y(x)，,解 将方将程两边求导，可得,当 y 0 时,或,例 2 设方程 y + x exy = 0 确定了函数 y = y(x)，,解 方程两边求导，得,当 1 - xexy 0 时，解得,即,例 3 求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对应于曲线上的点的切线方程.,解 方程两边求导数，可得,即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).,将 x = 4 代入方程，得 y = 1.,在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2，,y 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x 9 = 0,在点 P2 处的切线方程为,y + 1 = 2(x - 4)，即 y - 2x + 9 = 0,在 P2 处切线的斜率 y|(4, - 1) = 2.,所以，在点 P1 处的切线方程为,【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】,设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求导，得,cos y 取正号，,二、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,解,所以,例5,解,所求切线方程为,例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出，,如果不计空气阻力，以发射点为原点，,地平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴(如图).,由物理学知道它的运动方程为,求(1)炮弹在时刻 t 时的速度大小与方向，,(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.,O,中弹点,解 (1)炮弹的水平方向速度为,炮弹的垂直方向速度为,所以，在 t 时炮弹速度的大小为,它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为,(2)令 y = 0，得中弹点所对应的时刻,三、对数求导法,观察函数,上述函数的求导方法采用对数求导法： 先对方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,例7,解,等式两边取对数得,例8,解,等式两边取对数得,一般地,课堂练习2,解 两边取对数，得,两边求导，,所以,【2】总结：导数公式与求导法则,1、基本导数公式 2、求导法则 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则 (4) 对数求导法 (5) 隐函数求导法则 (6) 参变量函数的求导法则,1、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,2、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数