隐函数的导数、参数式函数的导数.ppt

第三节 高 阶 导 数,高等数学,3.间接法:,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式, 通过四则,运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.,例,解,例,解,若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律,所以将式子恒等变形.,例,解,分析,此函数是6次多项式,故不需将函数因式全乘出来.,因为,其中,为x的6次多项式, 故,又是求6阶导数,练习,1. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,2. 试从,导出,解：,同样可求,(见 P103 题4 ),第四节 隐函 数 的导数 参数方程所确定的函数 的导数,高等数学 （第二章）,例 求圆周 在点 处的切线方程,解法一：由 得,（取正号）,引 例,一、隐函数的导数,所以,切线方程为,即,该解法需要解出一个变量，确定一个函数（化隐函数为显函数），如果求解方程困难，此解法失效。,如果不解出一个变量，而能求解，是一个不错的想法，下面给出隐函数求导方法。,解法二：方程 两边关于 求导,解之得,所以,以下步骤同解法一（略）,一、隐函数的导数,称形如,为显函数。,其特点是：方程左边是因变量，而右边则是含 有自变量的一个表达式。,而方程,确定了一个 y 关于 x 函数,同样,称之为隐函数。,定义: 由方程,所确定的函数,y = y (x)，称之为隐函数。,也确定了一个 y 关于 x 函数,问题:隐函数不易显化或不能显化时如何求导?,有些隐函数可以显化，如方程,有些则不能，如方程,隐函数的显化,隐函数求导法则,用复合函数求导法则,并注意到其中,将方程两边对x求导.,变量y是x的函数.,例,解,注意 y = y (x),代入上式,解得,隐函数的求导步骤：,例,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例 (1),解：,方程两边对x求导，得,(1)式两边对x求导，得,将(2)式代入，得,例 (2),解,作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍,(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的,求导变得更为简单.,适用于,方 法,先在方程两边取对数,-对数求导法,然后利用隐函数的,求导法求出导数.,二、对数求导法,例,解,等式两边取对数得,隐函数,两边对x求导得,等式两边取对数得,例,解,等式两边取对数得,复合函数,改写成,只要将,幂指函数也可以利用对数性质化为:,再求导,有些显函数用对数求导法很方便.,例如,两边取对数,两边对x求导,练习,解答,等式两边取对数,解答,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,？,例,解,所求切线方程为,分子分母不要颠倒,例,解,例,解,用第二个方程用隐函数求导法求,四、小结,隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;,提示:,1. 求下列函数的 n 阶导数?,思考与练习,已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,2. 填空题,3. 设,求,提示: