数学物理方程经典教案分离变量法(研究生,高校本科生).ppt

数学物理方程 Equation for Mathematical Physics,第二章 分离变量法 Chpt2 Separation of variables method,2.1 分离变量法概述,求解数学物理方程定解问题的主要方法有：分离变量法(也叫驻波法、富氏级数法)、行波法(达朗贝尔法)、积分变换法、Green函数法(镜象法)等等。其中分离变量法是最常用、最基本和最重要的方法。 分离变量法的物理背景是波动现象，它的结构特点是时间和空间函数的乘积形式。于是这给我们一个启示：波动方程的解是否可以具有变量分离形式的解（即时间空间分离）？,2.1 分离变量法概述,一、基本思想： 1、利用变量分离形式的解，把求解偏微分方程定解问题化为常微分方程的定解问题； 2、先寻找方程满足齐次边界条件的特解，然后利用解的叠加原理求出偏微分方程定解问题的形式解； 3、分离变量法属于直接求方程特解的方法。,2.1 分离变量法概述,分离变量法解题的难易程度与选择的坐标系有关。 常用的坐标系有： 直角坐标系(笛卡尔坐标系) ：适合于求解区域为矩形域； 极坐标系：适合于求解区域为圆形或扇形域； 柱坐标系：适合于求解区域为圆柱形域； 球坐标系：适合于求解区域为球形域。 因此，当偏微分方程的研究区域为矩形、圆形、扇形、圆柱形、球面等区域时，特别适合使用分离变量法求解。,2.1 分离变量法概述,分离变量法解题的求解步骤-五步： (1)分离变量； (2)求解常微分方程的本征值问题(Eigenvalue problem); (3)决定解的基本结构(本征解)； (4)解的叠加； (5)确定方程中的叠加系数。,2.1 分离变量法概述,掌握直角坐标系下使用分离变量法求解偏微分方程的思路和步骤； 掌握直角坐标系下齐次方程、齐次边界条件下分离变量法的求解方法; 掌握求解非齐次方程的固有函数法和冲量定理法； 掌握非齐次边界条件齐次化的方法； 学习其它坐标系下使用分离变量法求解偏微分方程的方法。,本章主要内容,讲解内容安排,2.1 分离变量法概述 2.2 直角坐标系下的分离变量法 2.2.1 齐次方程定解问题的解法 2.2.2 非齐次方程定解问题的解法 2.2.3 非齐次边界条件的齐次化 2.2.4 高维定解问题的解法 2.3 极坐标系下的分离变量法 2.4 Sturm-Liouville问题,2.1 分离变量法概述,2.2 直角坐标系下的分离变量法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,end,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,Fig1. Normal modes of vibration for a standing wave on a string fixed at both ends,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,end,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 非齐次方程定解问题的解法,2.2.1 非齐次方程定解问题的解法,2.2.1 非齐次方程定解问题的解法,2.2.1 非齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.1 齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,对于非齐次方程的定解问题，不能直接使用分离变量法，可以采用下列几种办法求解这种问题： (一)、 固有函数法 (二) 、冲量定理法 (三) 、积分变换法（第四章讲）,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,小 结,2.2.2 非齐次方程定解问题的解法,如果边界条件为非齐次的，怎么办？,注：Laplace方程除外，边界条件非齐次，仍然可以用分离变量法求之(见下节)。,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,ut,wt,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,2.2.3 非齐次边界条件的齐次化,目前，数学物理方程中一般都仅给出了一维空间的波动方程或热传导方程的分离变量法的解，很少见到如何用分离变量法求解高维空间的边值或混合问题，本节讨论高维空间下求解偏微分方程的分离变量法的技巧。,2.2.4 高维定解问题的解法,2.2.4 高维定解问题的解法,2.2.4 高维定解问题的解法,2.2.4 高维定解问题的解法,2.2.4 高维定解问题的解法,2.3 极坐标下的分离变量法,2.3 极坐标下的分离变量法,2.3 极坐标下的分离变量法,2.3 极坐标下的分离变量法,2.3 极坐标下的分离变量法,2.3 极坐标下的分离变量法,2.4 Sturm-Liouville问题,2.4 Sturm-Liouville问题,固有值问题,分离变量法中典型齐次问题的一些结论,分离变量法中典型齐次问题的一些结论,分离变量法中典型齐次问题的一些结论,不同边界条件定解问题的固有函数系,分离