重积分的概念与性质(30).ppt

第一节 二重积分的概念和性质,一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、小结 练习题,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,1、引例：曲顶柱体的体积,一、二重积分的基本概念,曲顶柱体,（1）底是 x o y 面上的有界闭区域；,（2） 侧面是以 D 的边界 曲线为准线而母线平行 于 z 轴的柱面；,（3）顶是曲面 z = f ( x , y ) ，,计算曲顶柱体体积的一般方法：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,1：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小闭区域：,将曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体,以,表示以,为底的第 i,个小曲顶柱体的体积,2：近似计算,3：取极限求 V 的精确值,以,和 V 的体积,表示,内任意两点,间距离的最大值，称为,的直径,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块（ n），,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,薄片总质量的近似值为,每个小块的质量近似为,薄片总质量的精确值为,定义：设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数：,（1）：分割 ：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小区域,（2）：作和 ：在每个小区域,并作和,（3）：取极限：令,上任取一点,作乘积,为,的直径，并记,如果当,则称此极限为 f ( x , y ) 在 D 上的二重积分，记为,时，上述和的极限存在，且与小,区域的分法及点,的取法无关，,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,（1）如果 f ( x , y ) 在 有界闭区域 D 上连续，则 f ( x , y ) 在 D 上一定可积。,（2）如果 f ( x , y ) 在 D 上可积，则该积分与 D,因此，在直角坐标系中，用平行于 x 轴和 y 轴的 两组直线分割 D ，如图所示,的分法和分点,的取法无关，,几点说明,（3）几何意义：当 f ( x , y ) 0 时，二重积分 表示曲顶柱体的体积；,当 f ( x , y ) 0 时，此时曲顶柱体位于 x 0 y 平 面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分 表示的是曲顶柱体体积的相反数。,如果 f ( x , y ) 在 D 上有正有负，此时将 x o y 面 上方的曲顶柱体体积取为正，x o y 面下方的曲 顶柱体体积取为负，则 f ( x , y ) 在 D 上的二重 积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。,（4）二重积分的物理意义：平面薄片的质量,（二）二重积分的性质,性质1：常数因子可以提到积分号外面，即,性质2：和或差的积分等于积分的和或差，即,（二重积分与定积分有类似的性质）,性质3：二重积分的可加性：如果积分区域 D 被,性质4：如果在区域 D 上总有，f ( x , y ) 1 , 是 D 的面积，则,一曲线分成两部分,和,，则,几何意义：高为 1 的平顶柱体的体积,性质5：如果在 D 上总有,则有不等式,特殊地，由于,所以又有不等式,解,性质6：设 M 、m 分别是 f ( x , y ) 在 D 上的最 大值和最小值， 是 D 的面积，则,因为,所以由性质 5 有,由性质 1 有,由性质4 有,（二重积分估值不等式）,解,解,性质7：二重积分的中值定理：设 f ( x , y ) 在 D上连续， 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ( , ) ， 使得,