三角函数重心移向函数.ppt

1,三角函数的重心移向函数,一种经典的说法是：三角函数存在的理由是加法定理.,三角函数的重心何在？,所谓加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公式、和差化积公式与积化和差公式等.,所有这些，讲的都是三角函数式的恒等变形.,所谓重心的移动，难道三角的重心已经不在这里吗？,请看2007年的三角函数的考试.,前台后库,2,（1）2007年高考数学大纲，要求保持平稳.,2007年考试大纲中的三角函数,（2）试题设计的创新程度，要符合中学教学实际与学生实际.,（3）三角函数、立体几何两个模块的具体要求降低,（4）易、中、难三种题型设计的比例，容易题和中档题为主体，较难题不超过30%，中档题和容易题不低于70%.,修订后的2007年考纲有如下引人关注的几点：,这里，明白无误地声明，三角函数的“具体要求降低”.,当年的考卷兑现了诺言，三角函数的要求的确降低了.,3,【例1】 (2007年全国甲卷 理1) sin210=,(A) (B) (C) ( D ),【例2】 (2007年全国甲卷 文1) cos330=,(A) (B) ( C ) (D),【点评】 本题考查函数，是函数求值问题. 函数式为 y = f (x) = sin x ( 或cos x ),求 x =210( 或 x = 330),4,【例1】 (2007年全国甲卷 理1) sin210=,(A) (B) (C) ( D ),【例2】 (2007年全国甲卷 文1) cos330=,(A) (B) ( C ) (D),【说明】 本题对“任意角降低要求”作了解释：任意角的实际意义是将三角形的内角扩大到0到360之间.,这就是考题对考纲的兑现.,5,关于考点要求的四个层次：了解、理解、掌握和应用，人们对于“了解”和“理解”，从来就很模糊，因为它们在命题中不具备操作性.,“理解”降成“了解”,“任意角的概念和弧度的意义”降低要求之后，三角函数的大题也就随之降低了要求.有的试卷，单一的三角函数的试题有可能不出现在大题中.,新大纲提出这种变动，只在告诉人们，对此考点降低了要求. 对“弧度意义”降低要求后，人们至少不会在如下问题上大做文章了： 设x为锐角，求证：sinx x tanx,6,【分析】 求单调区间，是在研究函数的通性. 这里只不过把三角函数当成了一个具体的函数而已.,【例3】 （2007年 全国乙卷 理12） 函数 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一个单调增区间是,(A) (B) (C) (D),欲求 y = f (x)的一个单调增区间，易想到先统一 y = f (x)中的角，这在函数式的变换中称作“自变量的集元”.,7,【分析】 为了“集元”，可将 向 x 统一.,这可通过将cos2 降幂来实现. 然后将y = f (x)化成二次函数型，再根据复合函数的单调性求解.,【例3】 （2007年 全国乙卷 理12） 函数 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一个单调增区间是,(A) (B) (C) (D),在这里，把三角函数的单调性化为复合二次函数的单调性求解.,8,【解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos2,【例3】 （2007年 全国乙卷 理12） 函数 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一个单调增区间是,(A) (B) (C) (D),9,【解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos2,( 1 t 1).,【插话】 于是三角函数的问题转化为二次函数求解.,10,只需探求使得 和 ( 1 t 1)单调性一致的x的范围即可.,而当 时， 单调递减，,此时 ，并且存在 上 单调递减.,因此时y = f (x)的一个单调区间为 ，故选A.,【续解】 对二次函数 ( 1 t 1).,11,【点评】 此题以三角为载体，重点考查了函数的单调性、二次函数的性质、复合函数的单调性. 三角函数的值域等，在这里只作为复合函数的一员. 而三角函数的二倍角的余弦公式，在这里只充当了恒等变换中的一个工具. 尽管本题是一个选择题，但涉及到的内涵十分丰富，特别是函数思想在解题中的运用.,12,【解1】 抽象思维变式：,【点评】 本题考函数，正弦函数与绝对值函数的复合,按复合函数的单调性易知，本题答案为C.,13,【解2】 直觉思维看图：,【点评】 本题考函数的图象变换. 是数形结合的代表作.,看图易知，本题答案为C.,14,三角函数 转向“函数”,【例5】 (全国甲卷 理17) 在 ABC 中，已知内角A= ，边 BC=2 . 设内角B = x, 周长为y. （）求函数 y = f (x)的解析式和定义域； （）求 y 的最大值.,【评说】 本题考函数函数建模.,三角函数只充当了一个“载体”将三角函数纳入普通函数之 列，考查的是函数的共性：函数的定义域、对应法则、值域、函数应用等.,本题预示：三角“专题”，已从大题中淡出.,15,【分析】 本题“大中含小”，小到什么程度呢？连初中生都可拿到不少的分数 .,【题5】 (甲卷 理17 题（10分）文18 题（12分）) 在 ABC 中，已知内角 A= ，边 BC = 2 . 设内角B = x, 周长为 y. （）求函数 y = f (x)的解析式和定义域 （）求 y 的最大值.,大中含小的“大题”,【分割】 对题，求函数的解析式和定义域，而定义域是独立的，即三角形B角的取值范围为 0 B ，如果()的满分是4分，则这位初中生已经拿到了2分.,16,【分割 】 由正弦定理,则三角形周长 AB+BC+ C A,【点评】 那位初中生若能写到此步，则至少再添1分.,【题5】 (甲卷 理17 题（10分）文18 题（12分）) 在 ABC 中，已知内角 A= ，边 BC = 2 . 设内角B = x, 周长为 y. （）求函数 y = f (x)的解析式和定义域 （）求 y 的最大值.,大中含小的“大题”,17,又 B + C =- A =,故有,令 y = AB + BC + CA，B = x,则由（1）得函数 y = f (x)的解析式和定义域,留给高中生的 仅剩下面1分,18,【题5】 (甲卷 理17 题（10分）文18 题（12分）) 在 ABC 中，已知内角 A= ，边 BC = 2 . 设内角B = x, 周长为y.（）求函数 y = f (x)的解析式和定义域 （）求 y 的最大值.,大中含小 头重脚轻,实际上，没有()的结果，题()是照样可解的这是解梯式大题的一种迂回策略.,【分析】 用解析式 求其最大值已经不是难事了. 命题人将()、()两小题进行捆绑，看来有“头重脚轻”之嫌，因为相比之下，第()小题偏重.,19,【单解】 （与题()分离 用平面几何法求解） 设 y 的最大值对应的最大点为 B = x0 .,【题5】 (甲卷 理17 题（10分）文18 题（12分）) 在 ABC 中，已知内角 A= ，边 BC = 2 . 设内角B = x, 周长为y.（）求函数 y = f (x)的解析式和定义域 （）求 y 的最大值.,迂回解 另番天地,内角 C 与 B 是对称关系，设 y 的最大值对应的点 C = x0 则也有B=x0. 又 A= , 故 C =B = ， 从而 ABC 为 正三角形. 所以 y 的最大值为3BC = 6 .,20,三角函数的重心移向函数,过去的经典