A1(910)连续函数性质与闭区间上连续函数的性质.ppt

9. 连续函数的运算 与初等函数的连续性,一、连续函数的和、差、积、商的连续性,定理：,设 f (x), g (x) 在点 x0 处连续，则,(1) f (x) g (x) 在点 x0 处也连续 ；,(2) f (x) g (x) 在点 x0 处也连续 ；,在点 x0 处也连续。,例：,讨论 (1) y = x n, (2) y = tan x 的连续性。,(1), y = x 在其定义域 ( -,+) 连续，, y = x n = x x x (有限个 x 的乘积) 在 ( -,+) 也连续。,(2), y = sin x , y = cos x 在其定义域 ( -,+) 连续,幂函数、三角函数在其定义域内都是连续的。,二、反函数与复合函数的连续性,定理（2）( P. 65 ),若f为单调连续函数，则其反函数必存在，,且也单调且连续。,例：,单值、单调且连续，,也单值、单调且连续。,反三角函数在其定义域上都是连续函数。,定理（3）( P. 66 ), 复合函数的极限存在性,定理（4）( P. 66 ),a ;, 复合函数的连续性,连续的复合函数仍为连续函数。,例1：,解：,例2：,讨论 y = a x , y = log a x (a 0, a 1)，,y = x ( 为一切实数 ) 的连续性。,均在其定义域连续，,其反函数 y = log a x 也在其定义域连续。,均在其定义域连续，, y = x ( 为一切实数 )也在其定义域连续。,解：,三、初等函数的连续性,基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。,一切初等函数在它们的定义区间内都是连续的。,定义区间：,指包含在定义域内的区间。,1.,初等函数在其定义区间内任何一点的 极限值就是函数在该点的函数值。,2.,初等函数的定义区间就是该函数的 连续区间。,例题讨论,例1：,解：, 连续区间为：,例2：,解：,例3：,试选择 a , 使 f (x) 为连续函数。,解：,x 1 时, f (x) 连续；, 不定型,例1：,解：,要使极限存在且为常数，,例2：,解：,课外作业,习题1-9(A),2、3 (2, 5, 8, 10, 11, 12)、5,习题 1-9(B),1(2, 3, 5), 3(4, 7, 8), 4,10. 闭区间上连续函数的性质,一、最大值与最小值定理,定理 1：,在闭区间上连续的函数必有最大值与最小值。 (证略),即若 f (x) 在 a, b 连续，则必存在两点,m =,= M,(最小值),(最大值),a,b,说明：,闭区间，连续函数，缺一不可。,若不是闭区间，,如：y = x 在 (a, b) 内连续，,a,b,。,。,无最小值,无最大值,若 f (x) 不连续，如：,1,1,2,。,。,.,也无最大最小值。,定理中两条件：,定理 2：,作为推论，得 有界性定理。,在闭区间上连续的函数必在该区间有界。,由定理 1，,二、介值定理,定理 3 ：,( 零点定理 ),( 根的存在定理 ),且 f (a) 与 f (b) 异号，( 即 f (a) f (b) 0 ),则至少存在一点,若 f (x) 在 a, b 连续，,a,b,f (a),f (b),. ,结论又为：,方程 f (x) = 0 在 (a, b)内至少有一个根。,定理 4 ( 介值定理 ),若 f (x) 在 a, b 连续，且,f (a) = A, f (b) = B, AB, 则对于A、B 之间,的任一数 C，至少存在一点,使 f ( ) = C .,证：,且在 a, b 连续，,无论 A C B 或 B C A , (a) (b) 0,由零点定理，,至少存在一点,a,b,C .,A,B,C .,推论：,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。,例题讨论,例1：,证明,证：,设 f (x) = e x cos x ,由零点定理，,至少存在一点,例2：,证明方程,证：,由零点定理，,至少存在一点, 得证。,例3：,设 f (x) 在 0, 2a 连续, f (0) = f (2a),分