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第二节 二重积分的计算法,一 利用直角坐标计算二重积分,利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。,面积元素,积分区域,X-型区域,Y-型区域,设D（X型）：,利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:,若D为（Y型）：,求二重积分的方法： 将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算,若D（X型）：,若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域， 使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和 就是所给二重积分的值。,例1 计算 ，其中D是由直线y=1,x=2, 及y=x所围区域。,解法 1 把D看成X型域，则,解法 2 把D看成Y型域，则,例2 计算 ，其中D是由抛物线 及直线 所围成的区域 。,解 把D看作Y型域,则,把D看作X型域,由于在0，1和1，4上下边界的表达式不同，所以要用直线x=1将D分成两个区域 和,它们分别用以下不等式表示：,例3 求,若Y型,解 X型,则积分较繁。,例4 求 所围成。,分析 若先 后 积分，则 无法积分。,例5 交换二次积分的顺序,分析 要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定 积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给 的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新 确立积分限，得到二次积分。,解 将所给积分限还原成D的图形，由,知D是由y=x，y=2x，y=0三条直线所围成，,于是按Y型域定限,其中,例6 交换二次积分的顺序,故D是由 所围成的， 于是,解,故D是由 所围成的， 于是,证 由等式左边，得,改变积分顺序，得,二 极坐标计算二重积分,直角坐标与极坐标的关系为：,面积元素为（矩形）,由直角坐标和极坐标的对应关系，得到 二重积分在极坐标下的形式,其中,于是得到极坐标下， 二重积分化为二次积分的公式：,若积分区域 D：,或写作,解 利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：,于是,例9 计算 ，其中D是以原点为圆心，半 径为 的圆域。,解 D可以表示成,问题 本题为何不用直角坐标计算？ 如何计算广义积分,解 用极坐标，,例11 计算 其中D为 和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。,解 将 化为 ， 可见D是一个半圆域。,所以D可表示为,圆的方程表示成极坐标形式：,于是，利用极坐标得：,几何意义是球面 ,圆柱面,练习
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