D8-1多元函数概念(全.ppt

推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法及其应用,第一节,一、平面点集 n 维空间,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的基本概念,第九章,1邻域,一、平面点集 n 维空间(不记笔记),注,2区域,(1) 内点、外点、边界点与边界,设有点集 E 及一点 P，, 若存在点 P 的某邻域U(P)，使得U(P) E , 若存在点 P 的某邻域U(P)，使得 U(P) E = , 若点 P 的任一邻域 U(P)内既含属于 E 的点，又含不,则称 P 为 E 的内点；,属于 E 的点 , 则称 P 为 E 的边界点；,则称 P 为 E 的外点;,E 的边界点的全体称为E 的边界。,例如：,上任一点都是边界点,边界为圆周,的边界为圆周,及圆周,的边界为,(3) 开集、闭集, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若E 的边界包含在 E 内, 则称 E 为闭集；,例如：,开集,为闭集,(4) 连通集,若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,则称 D 是连通集;,是开集，,但不是连通集,是连通集,(5) (开)区域、闭区域, 开区域连同它的边界一起称为闭区域。, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,例如，,（开）区域,闭区域,为有界闭区域；,为无界开区域,例如，,（6）有界点集、无界点集, 若平面点集 E 可包含于原点的某个邻域内，则称 E 为,有界点集；否则，称 E 为无界点集,以后区域,可简单地表示成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3n 维空间,注,10,设两点为,则,20 平面点集的有关概念均可推广到n 维空间中去，,如，,邻域：,在空间中表示闭区域，边界面为,二、多元函数的概念,两个自变量的函数称为二元函数，一般记为,1多元函数的概念,同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为,二元及二元以上的函数称为多元函数。,，例如,例1 设,求：,解：,。,例2 求 的定义域,解,所求定义域为,。,2. 二元函数 的图形,二元函数 的图形通常是一张空间曲面，,例如：,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面。,三、多元函数的极限,f (x,y)=3x+2y,1.5,2.4,9.3,1.1,1.9,7.1,0.99,2.01,6.99,1.001,1.999,7.001,1.0001,2.0001,7.0005,则称 7是,当,对应的,时的极限,当点,趋向于点,当点 无限趋近于点 时，,由于,记,或,的值无限接近于常数 A，则称 A 是,当点 趋向于点 时,的极限，记为,一般地：,因此有,定义2. 设函数 f (x,y)的定义域为D，,边界点 ,则称A为函数,P0 是D的内点或,若存在常数A,当,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对任意正数 , 总存在正数 ,时的极限，,记作,例3. 证明,证:,故,总有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,要证,只要,取,注：,则 不存在。,例4 证明 不存在.,证,故 不存在。,四、多元函数的连续性,定义3,如果函数 在 D 上的每一点都连续，则称 函数 在 D上连续，或者称 是 D上的 连续函数。,定义4,例5 讨论,在 (0,0) 的连续性,解,其值随k的不同而变化，,因为,因此， 在点(0,0)处不连续。,故极限 不存在,定理,一切多元初等函数都在其定义区域内连续,注,定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。,例6,求,解 原式=,例7,解,4有界闭区域上连续函数的性质(了解,不记),有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值,有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值。,（2）最值性,（3）介值性,（1）有界性,有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界,习题P56,1, 3(1)(4), 4, 5, 6(1)(3)(4)(6), 7(1), 8(2),思考题,解答,不能！,例如：,取,但是， 不存在.,因为若取,若点,沿着无数多条平面曲线趋向于点,时，函数,都趋向于A，能否断