高等学校全国统一考试数学试题

2006高等学校全国统一考试数学理试题（辽宁理）一. 选择题(1) 设集合,则满足的集合B的个数是(A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2) 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数(3) 给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.；若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(4) 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是(A) (B) (C) (D) (5) 设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集(6)的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) (7) 与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为(A) (B) (C) (D) (8) 曲线与曲线的(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同(9) 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(A) (B) (C) (D)(10) 直线与曲线 的公共点的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(11)已知函数,则的值域是(A) (B) (C) (D) (12) 设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 二. 填空题(13) 设则_(14) _(15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种.(以数作答)(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_三 解答题(17) (本小题满分12分)已知函数，.求:(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(II) 函数的单调增区间.(18) (本小题满分12分)已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.AACBDEFBCDEF(19) (本小题满分12分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I) 求、的概率分布和数学期望、;(II) 当时,求的取值范围.(20) (本小题满分14分)已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。21（本小题满分12分）已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a0,d0.设1-上，在，将点A， B， C (I)求(II)若ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值22（本小题满分12分） 已知,其中,设,.(I) 写出;(II) 证明:对任意的,恒有.2007年（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，则（ ）ABCD 2若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）ABCD3双曲线的焦点坐标为（ ）A，B，C，D，4若向量与不共线，且，则向量与的夹角为（ ）A0BCD5设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63B45C36D276若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A若，则B若，则 C若，则D若，则7若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）ABCD8已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）AB CD9函数的单调增区间为（ ）ABCD10一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ）ABCD11设是两个命题：，则是的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件12将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，则不同的排列方法种数为（ ）A18B30C36D48二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13已知函数为奇函数，若，则14展开式中含的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）15若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 16设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组500，900)900，1100)1100，1300)1300，1500)1500，1700)1700，1900)1900，)频数4812120822319316542频率（I）将各组的频率填入表中；（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率（本小题满分12分）18如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离（本小题满分12分）19（本小题满分12分）已知函数（其中）（I）求函数的值域； （II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间20已知数列，满足，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式（本小题满分12分）21已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆的方程；（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值（本小题满分14分）22已知函数，且对任意的实数均有，（I）求函数的解析式；（II）若对任意的，恒有，求的取值范围（本小题满分12分）2007年（辽宁卷）数文试题答案与评分参考1C 2A 3C 4D 5B 6B 7C 8A 9D 10D 11A 12B131 1472 15 16217本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力满分12分（I）解：分组500，900)900，1100)1100，1300)1300，1500)1500，1700)1700，1900)1900，)频数4812120822319316542频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.042 4分（II）解：由（I）可得，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.68分（III）解：由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率，根据在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式可得所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.64812分18本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力满分12分（I）证明：连结，三棱柱是直三棱柱，平面，为在平面内的射影中，为中点，（II）解法一：过点作的平行线，交的延长线于，连结分别为的中点，又，平面，为在平面内的射影为二面角的平面角，在中，作，垂足为，平面，平面平面，平面在中，即到平面的距离为，平面，到平面的距离与到平面的距离相等，为解法二：过点作的平行线，交的延长线于，连接分别为的中点，又，平面，是在平面内的射影，为二面角的平面角，在中，8分设到平面的距离为，即到平面的距离为12分19本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力满分12分（I）解：5分由，得，可知函数的值域为7分（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得9分于是有，再由，解得所以的单调增区间为12分20本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力满分12分（）解：由题设得，即（）易知是首项为，公差为的等差数列，通项公式为4分（II）解：由题设得，令，则易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为8分由解得，10分求和得12分21本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14分（I）解法一：设两点坐标分别为，由题设知解得，所以，或，设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为4分解法二：设两点坐标分别为，由题设知又因为，可得即由，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为4分（II）解：设，则8分在中，由圆的几何性质得，所以，由此可得则的最大值为，最小值为22.本题考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查数形结合能力以及综合应用数学基础关系解决问题的能力。（1）解法一、由题设得：解法二：由题设得（ii）解：由题设知，对任意的2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第卷（选择题 共60分）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页，第卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=4R2如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径P(AB)=P(A) P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V=R3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,n) 其中表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2若函数为偶函数，则a=（ ）ABCD3圆与直线没有公共点的充要条件是（ ）AB CD4已知，则（ ）ABCD5已知四边形的三个顶点，且，则顶点的坐标为（ ）ABCD6设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）ABCD74张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）ABCD8将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ ）ABCD9已知变量满足约束条件则的最大值为（ ）ABCD10一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）A24种B36种C48种D72种11已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）A1B2C3D412在正方体中，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，都相交的直线（ ）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13函数的反函数是 14在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_15展开式中的常数项为 16设，则函数的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积18（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030（）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；（）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率19（本小题满分12分）ABCDEFPQHG如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF，截面PQGH（）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（）若，求与平面PQEF所成角的正弦值20（本小题满分12分）在数列，是各项均为正数的等比数列，设（）数列是否为等比数列？证明你的结论；（）设数列，的前项和分别为，若，求数列的前项和21（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为（）写出C的方程；（）设直线与C交于A，B两点k为何值时？此时的值是多少？22（本小题满分14分）设函数在，处取得极值，且（）若，求的值，并求的单调区间；（）若，求的取值范围2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）试题参考答案和评分参考一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，共60分1D2C3B4C5A6A7C8A9B10B11D12D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分13141516三、解答题17本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力满分12分解：（）由余弦定理得，又因为的面积等于，所以，得4分联立方程组解得，6分（）由正弦定理，已知条件化为，8分联立方程组解得，所以的面积12分18本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分解：（）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.34分（）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为 （）8分 （）12分19本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力满分12分解法一：（）证明：在正方体中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）证明：由（）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值8分（）解：设交于点，连结，ABCDEFPQHGN因为平面，所以为与平面所成的角因为，所以分别为，的中点可知，所以12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分（）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值8分（）解：由（）知是平面的法向量由为中点可知，分别为，的中点所以，因此与平面所成角的正弦值等于12分20本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力满分12分解：（）是等比数列2分证明：设的公比为，的公比为，则，故为等比数列5分（）数列和分别是公差为和的等差数列由条件得，即7分故对，于是将代入得，10分从而有所以数列的前项和为12分21本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分12分解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为4分（）设，其坐标满足消去y并整理得，故6分，即而，于是所以时，故8分当时，而，所以12分22本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力满分14分解：2分（）当时，；由题意知为方程的两根，所以由，得4分从而，当时，；当时，故在单调递减，在，单调递增6分（）由式及题意知为方程的两根，所以从而，由上式及题设知8分考虑，10分故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为所以，即的取值范围为14分2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）一- 选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M=x|-3x5,N=x|-5x5,则MN=(A) x|-5x5 (B) x|-3x5(C) x|-5x5 (D) x|-30,V=S-T (B) A0, V=S+T （D）A0, V=S+T（11）正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2（12）若满足2x+=5, 满足2x+2(x-1)=5, +=（A） (B)3 (C) (D)4（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.（14）等差数列的前项和为，且则 （15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 （16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。（17）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） （18）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 （19）（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） （20）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。（1） 求椭圆C的方程； （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。（1） 求证：AD的延长线平分CDE；（2） 若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。 （23）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数。（1） 若解不等式；（2）如果,求 的取值范围。 参考答案(1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A(10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) (15) 4 (16)9(17)解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 5分在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 12分（18）（I）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MGCD，MG=2，NG=.因为平面ABCD平面DCED，所以MG平面DCEF，可得MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sinMNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 6分解法二： 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得cos(,)= 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos 6分()假设直线ME与BN共面， 8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/