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文档简介

,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,高斯公式,第十一章,斯托克斯公式,二、斯托克斯公式,Stokes 公式,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式),高斯, 的方向取外侧,以下形式：,其中，,是在点(x,y,z)处的法,向量的方向余弦.,例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?,利用质心公式, 注意,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于z = 0及 z = h,之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.,所围区域为 ,则,利用质心公式, 注意,思考: 计算曲面积分,提示: 作取上侧的辅助面,介于平面 z= 0 及 z = 2,之间部分的下侧.,先二后一,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作辅助面,用柱坐标,用极坐标,下侧,二、 斯托克斯公式,定理2. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,则有,简介,注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,定理1,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1,例4. 利用斯托克斯公式计算积分,其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整,解: 记三角形域为 , 取上侧,则,个边界, 方向如图所示.,利用对称性,例5. 为柱面,与平面 y = z 的交线, 从 z,轴正向看为顺时针,解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式其他形式,计算,内容小结,1. 高斯公式及其应用,公式:,应用:,计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),2. 斯托克斯公式,作 业,P236 1 (4), P245 2 (4) P247 4 (2)(3),第七节,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2), 为,备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,试证,证: 设 的单位外法向量为,则,的夹角,积为V,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在
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