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文档简介

,第三节,3、球面坐标系下,三重积分的计算,第六章,2、柱面坐标系下,1、直角坐标系下,复习、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法3 . 三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后, 推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数 ,方法:,方法1. 投影法 (“先一后二” ),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,方法2. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,投影法,方法3. 三次积分法,设区域,利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得:,当被积函数在积分域上变号时, 因为,均为为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,例2. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,例3,解一,先重后单,解二,先单后重,将 投影到 xoy 面得D,例3,例4,解,14,解法一,例5,解法二,例6,解,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,其中 为,例7. 计算三重积分,所,解: 在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,例8. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中 由抛物面,原式 =,解,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,例10. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,例11 .计算积分,其中
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