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,一阶线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一、一阶线性微分方程,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量:,两边积分:,称为齐次方程 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求初值问题,的解 .,解:,方程可变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常数变易法,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求方程,的通解.,解: 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P341 1 单数； 2 双数； 3.,作业,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,17
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